Чем отличается график функции от графика производной

Знание — сила. Познавательная информация

График производной функции

Задания, в которых на рисунке изображен график производной функции y=f ‘(x), и нужно определить точки экстремума и промежутки монотонности функции y=f(x), решаются очень просто.

Достаточно помнить, что

1) функция y=f(x) возрастает на промежутках, где производная y=f ‘(x)>0;

2) функция y=f(x) убывает на промежутках, где производная y=f ‘(x) внутренних точек области определения, то есть точки на концах области определения не рассматриваем);

4) функция y=f(x) имеет точки экстремума там, где производная y =f ‘(x) меняет свой знак.

В частности, функция y=f(x) имеет точки максимума там, где производная меняет знак с плюса на минус;

функция y=f(x) имеет точки минимума там, где производная меняет знак с с минуса на плюс.

На рисунке изображен график производной функции. С помощью графика найти промежутки монотонности функции, критические точки, критические точки и точки экстремума.

рис.1. По графику производной исследовать функцию.

Функция y=f(x) возрастает на промежутках (x1;x3) и (x4;x5) (то есть там, где производная y=f ‘(x) положительна, а значит, ее график расположен выше оси оx). Точку x2 не исключаем из промежутка возрастания — производная в этой точке равна нулю, но знак не меняет.

Функция y=f(x) убывает на промежутке (x3;x4) (то есть там, где производная y=f ‘(x) отрицательна, а значит, ее график расположен ниже оси оx).

Критические точки: x2, x3, x4. В этих точках производная обращается в нуль (а график производной, соответственно, пересекает ось ox).

x=x3 — точка максимума функции y=f(x), поскольку производная y=f ‘(x) в этой точке меняет знак с плюса на минус (график производной пересекает ox в направлении сверху вниз).

x=x4 — точка минимума функции y=f(x), так как производная y=f ‘(x) в этой точке меняет знак с минуса на плюс (график производной пересекает ox в направлении снизу вверх).

Точки экстремума: x3 и x4. В них производная не только обращается в нуль, но и меняет свой знак. Точка x=x2 — критическая, но точкой экстремума не является поскольку нет смены знака производной. То есть точки экстремума на графике производной — это те точки в которых график не касается, а пересекает ось ox.

Читайте также:  Тест на манию величия

рис.2. По графику производной исследовать функцию

Функция y=f(x) возрастает на промежутках (x2;x3) и (x4;x5).

Функция y=f(x) убывает на промежутках (x1;x2) и (x3;x4).

Критические точки: x2, x3, x4.

Точка максимума — x=x3.

Точки минимума — x=x2 и x=x4.

С помощью графика производной y=f ‘(x)также можно сравнивать значения функции y=f(x). Такие задания рассмотрим позже.

9 комментариев на «График производной функции»

Неплохо, все просто и понятно!

Превосходно!
Напишите пожалуйста аналогичную статью о второй производной!

Спасибо!
Постараюсь о второй производной написать на следующей неделе.

Рассмотрим и сравним график функции и ее производной (рис.1)

Рисунок 1. График производной

Свойства графика производной

  1. На интервалах возрастания производная положительна. Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
  2. На интервалах убывания производная отрицательна (со знаком минус). Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
  3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
  4. В точках максимума-минимума функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.

По графику (рис.2) производной определить, в какой точке на отрезке [-3; 5] функция максимальна.

Рисунок 2. График производной

Решение: На данном отрезке производная — отрицательна, а значит, функция убывает слева направо, и наибольшее значение находится с левой стороны в точке -3.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

По графику (рис.3) производной определить количество точек максимума на отрезке [-11; 3].

Рисунок 3. График производной

Решение: Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На данном промежутке функция два раза меняет знак с плюса на минус — в точке -10 и в точке -1. Значит количество точек максимума — две.

Читайте также:  Сталкер чистое небо бродяга умирает

По графику (рис.3) производной определить количество точек минимума отрезке [-11; -1].

Решение: Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На данном отрезке такой точкой является только -7. Значит, количество точек минимума на заданном отрезке — одна.

По графику (рис.3) производной определить количество точек экстремума.

Решение: Экстремумом являются точки как минимума, так и максимума. Найдем количество точек, в которых производная меняет знак:

  • Точка -10 (максимум)
  • Точка -7 (минимум)
  • Точка -1 (максимум)
  • Точка 2 (минимум)

Функция содержит 4 экстремума.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

По графику (рис.4) производной определить количество целых точек на промежутке убывания.

Рисунок 4. График производной

Решение: Интервалам убывания соответствуют (-3,-1.5) и (4.5,6.5). Количество целых точек по прямой х: 2(на первом промежутке) и 2 (на втором промежутке).

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Производная характеризует скорость изменения функции Если функция возрастает – производная положительна (касательная наклонена вправо) Если функция убывает – производная отрицательна (касательная наклонена влево) Если функция имеет максимум или минимум, либо «точку перегиба» – производная равна нулю (касательная лежит горизонтально) Чем больше скорость возрастания (или убывания) функции, тем больше по модулю производная, и тем круче (ближе к вертикали) наклон касательной В точках А и D функция возрастает – производная положительна. В точке А наклон касательной круче, значит, и производная больше, чем в точке D. В точках В и С функция убывает – производная отрицательны. В точке В функция наклон касательной круче, значит, производная меньше, чем в точке C (ПО МОДУЛЮ – больше)

Геометрический смысл производной

Производная – это тангенс угла наклона касательной (или угловой коэффициент касательной)

Как найти угловой коэффициент касательной (или производную) Пример: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Читайте также:  Что означает смайлик клубника

1. Найти точки на линии касательной, которые точно попадают в пересечение клеточек (обычно на рисунке эти точки отмечены).

2. Через одну из точек провести горизонтальную линию, через другую – вертикальную. Получится треугольник.

3. Сосчитать (в клеточках) длины вертикальной и горизонтальной сторон треугольника. Разделить длину вертикалной стороны на длину горизонтальной

4. Если наклон касательной вправо («подъем») – ставим знак «плюс», если наклон влево («спуск») – ставим знак «минус»

Вертикаль: 2 клетки Горизонталь: 8 клеток Здесь «подъем», знак «плюс».

Ответ: Значение производной в точке х равно 0,25

Нахождение точек, где касательная параллельна прямой

Если требуется определить точки, где касательная параллельна прямой , то надо искать точки, где производная равна k (числу перед иксом). А если касательная должна быть параллельна прямой (или оси абсцисс), то производная должна быть равна 0)

Пример: Дан график производной функции f(x). Указать количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=x Решение: для прямой y=x угловой коэффициент равен 1, значит, производная должна быть равна 1. Таких точек на графике две.

Физический смысл производной

  • Если функцией является перемещение тела, то произвозная от этой функции – скорость
  • Если функцией является скорость, то производная от этой функции – ускорение

Пример: Материальная точка движется по закону . Найти мгновенную скорость в момент

Скорость v – производная от перемещения s: . При t=5

Связь графиков функции и производной

Производная Функция Касательная к графику функции
Положительна Возрастает Наклонена вправо (острый угол с осью Х)
Отрицательна Убывает Наклонена влево (тупой угол с осью Х)
Равна нулю (с вариантами) Стационарная точка

Горизонтальна (параллельна оси Х)

=0, меняет знак с мИнуса на плюс Минимум (экстремум) =0, меняет знак с плюСа на минус МакСимум (экстремум) =0, но знак не меняет Точка перегиба

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 1093 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector