Цифровой корень натурального числа получается следующим образом

Если мы сложим все цифры какого-либо числа, затем все цифры найденной суммы и будем повторять много раз, мы, наконец, получим однозначное число (цифру), называемое цифровым корнем данного числа. Например, цифровой корень числа 34697 равен 2 (3+4+6+9+7=29; 2+9=11; 1 + 1=2). Составим программу для нахождения цифрового корня натурального числа.

program prim5;
uses crt;
var n, k, s: longint;
begin
clrscr;
writeln(‘ число=’); readln(n);
s:=n;
<Пока сумма является двузначным числом.>
while s>9 do
begin
k:=s;s:=0;
<Вычисляем сумму цифр числа.>
repeat
S:=s+k mod 10; k:=k div 10;
until k=0;
end;
writeln(‘ цифр. корень числа ‘,n, ‘ равен ‘,s);
readln;
end.

Раскрытие тайны цифрового корня.

Недавно мне посчастливилось подготовить задачу про цифровой корень на Russian Code Cup. В результате прорешивания, а также комментариев к разбору, я заметил, что, к сожалению, отнюдь не каждый осведомлен о свойствах данной функции. Я просто не мог остаться равнодушным к этой проблеме.

Для начала рассмотрим определение цифрового корня, взятое с англоязычной Википедии с моим переводом:

Цифровой корень натурального числа — это цифра, полученная в результате итеративного процесса суммирования цифр, на каждой итерации которого для подсчета суммы цифр берут результат, полученный на предыдущей итерации. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет получена одна цифра.
Например цифровой корень 65,536 это 7, потому что 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 и 2 + 5 = 7.

Для начала заметим очевидное свойство ( dr(n) — цифровой корень числа n ):

Дальше докажем следующий факт: Сумма цифр числа n имеет такой же остаток при делении на 9, как и число n .

В доказательстве нам понадобится формула , докажем ее по индукции:
База:
Переход: .
Нужно доказать . Просто распишем
Таким образом мы доказали по индукции, что .

Читайте также:  Стиральная машинка с правым открыванием дверцы

Вернемся к основному доказательству. Пусть , тогда: n = a k·10 k + a k – 1·10 k – 1 + . a 1·10 + a 0 . По только что доказанной формуле: следовательно . Что и требовалось доказать.

Теперь по только что доказанному утверждению понятно, что остаток при делении на 9 — инвариант относительно взятия цифрового корня, а поскольку сумма цифр числа меньше самого числа, если число больше 9, справедливы следующие две формулы:

Эти две формулы можно собрать объединить формулой:

Из этой формулы, например, следует периодичность цифрового корня.

Любая задача про цифровой корень становится легче при знании этого несложного факта, надеюсь, что кому-нибудь этот пост покажется полезным.

Поддержано грантом для одаренной молодежи А. А. Шалыто.

Математические головоломки
Топологические
С отвлеченными числами
Числовые
Геометрические
Еще головоломки
Математический портал
О портале "Математика. ру"
mainmenu
Математика в афоризмах
Сущность математики
Значение математики
Изучение математики
О красоте математики
Элементарная математика
Высшая математика
Математические фокусы
С картами
С мелкими предметами
Со снаряжением
Исчезновение фигур
Без обмана
Занимательная арифметика
Немного истории
О цифрах и нумерации
Потомок древнего абака
Недесятичные системы
Числовые диковинки
Вечный календарь
Числовые великаны
Числовые лилипуты
Путешествие
Решение математических задач
По высшей математике №1-100
По высшей математике №101-200
По высшей математике №201-300
По высшей математике №301-400
По высшей математике №401-500
Задачи-головоломки

Р. Курант, Г. Роббинс

Дедукция, выраженная в адекватной математической форме, – необходимое основание индукции, которая дает нам новые обобщения и, следовательно, новые факты [314, с. 462].

Цифровые корни

28.02.2008 г.

Цифровые корни

Если сложить все цифры некоторого числа, затем все цифры только что найденной суммы и так про­должать достаточно далеко, то получится одна единственная цифра, которая носит название цифрово­го корня первоначального числа. Быстрее всего можно получить цифровой корень при помощи так называе­мого «процесса отбрасывания девяток». Допустим, например, что мы хотим найти цифровой корень чи­сла 87345691. Сначала сложим цифры 8 и 7, будет 15; затем тут же складываем 5 и 1, получаем 6. Этот же результат получится, если вычесть или «исключить» из 15 девятку. Теперь прибавим 6 к следующей циф­ре, т. е. к тройке, получится 9. Девять плюс 4 дает 13 – число, которое после исключения девятки опять сводится к числу 4. Так же мы поступаем, пока не дойдем до последней цифры. Цифра 7, полученная этим путем, будет цифровым корнем заданного числа 87345691.

Большое количество фокусов с числами основано на операции, которая приводит к числу, кажущемуся случайным, хотя в действительности имеющим своим цифровым корнем девятку. Если производилась имен­но такая операция, можно предложить зрителю об­вести кружком любую цифру ответа (за исключением нуля), а остальные цифры назвать в любом порядке. После этого показывающий может объявить отмечен­ную цифру. Для этого ему нужно просто складывать называемые зрителем цифры, вычитая по ходу дела девятки; таким образом, при объявлении последней цифры он уже будет знать цифровой корень совокуп­ности записанных им чисел. Если этим корнем ока­жется девятка, то была отмечена кружком эта же цифра. В остальных случаях, чтобы получить отме­ченную цифру, нужно вычесть найденный цифровой корень из девятки. Вот некоторые из многих опера­ций, которые приводят к числам, цифровой корень ко­торых равен 9.

1. Напишите число (оно может быть сколь угодно большим) и переставьте его цифры в любом порядке; вычтите меньшее из этих чисел из большего.

2. Напишите какое-нибудь число, сложите все его цифры и вычтите полученную сумму из первоначаль­ного числа.

3. Напишите какое-нибудь число. Найдите сумму его цифр, умножьте ее на 9 и сложите результат с пер­воначальным числом. Напишите какое-нибудь число, умножьте его на 9 или на число, кратное девяти. (Все числа, крат­ные девяти, имеют своим цифровым корнем девятку, и обратно, все числа, имеющие своим цифровым кор­нем девятку, кратны девяти.)

4. Напишите какое-нибудь число, сложите два чи­сла, полученных из него путем любой перестановки цифр, и возведите полученный результат в квадрат.

Если вы хотите еще более затемнить метод полу­чения чисел, цифровой корень которых равен 9, вы можете перед существенным в этом методе действием вводить произвольные числа и операции. Например, можно предложить зрителю записать количество ме­лочи в его кармане, умножить это число на число людей в комнате, прибавить к результату самый знаме­нательный год в его жизни и т. д. и, наконец, умно­жить результат на 9. Ясно, что только последнее дей­ствие имеет отношение к делу. Как только получено число, цифровой корень которого равен 9, вы можете предложить зрителю обвести какую-нибудь цифру результата кружком и показывать фокус, как это было описано выше.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector