Циркуляция векторного поля примеры решения

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 12.14 Найти модуль циркуляции векторного поля &nbsp &nbsp
вдоль контура
&nbsp &nbsp

Решение

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Согласно формуле Стокса:

.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Здесь &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp – участок поверхности, ограниченный контуром &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp , &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp – единичный вектор нормали к данной поверхности.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Найдём ротор векторного поля


&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Тогда интеграл запишется


&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Здесь &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp – направляющие косинусы нормали к поверхности или координаты единичного вектора нормали.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Из общего уравнения плоскости запишем координаты нормального вектора &nbsp &nbsp &nbsp .
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Находим длину нормального вектора
.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Тогда направляющие косинусы
.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Элемент поверхности
.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Проекцией поверхности &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp на плоскость &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp является круг

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Этот круг имеет центр в начале координат и радиус &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp.

Читайте также:  Телефон с пластиковым экраном

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Площадь данного круга
.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Переходя от поверхностного интеграла к двойному, получим

.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Тогда модуль циркуляции &nbsp &nbsp &nbsp .
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Ответ: Модуль циркуляции равен&nbsp &nbsp &nbsp .

Определение 5.3. Циркуляцией Ц векторного поля а = а(М) называется линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой ориентированной кривой L. Таким образом, по определению

где символ означает интеграл по замкнутой кривой L.

Если векторное поле а = а(М) задано в координатой форме

то циркуляция векторного поля будет равна

За положительное направление обхода замкнутой кривой L будем считать направление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет оставаться слева.

Пример 5.5. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: .

Решение. По определению циркуляции имеем

(5.4)

Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид (рис. 5.3)

(5.5)

(5.6)

Подставляя (5.5) и (5.6) в (5.4), получим

аналогично находим, что

Пример 5.6. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль линии L, получаемой пересечением конуса x 2 + y 2 = (z-1) 2 с координатными плоскостями (р 11.4)

Решение. Линия L состоит из двух отрезков ВС и СА, расположенных на координатных плоскостях YOZ и XOZ соответственно и окружности . Поэтому циркуляция данного векторного поля будет равна

1. На отрезке ВС имеем

2. на отрезке СА имеем

3. На дуге окружности имеем z = 0, dz = 0, и значит

Искомая циркуляция векторного поля равна нулю.

Пример 5.7. Вычислить циркуляцию векторного поля a = xyi + yzj + xzk, если

Решение. Имеем

Линия L есть эллипс, получающийся в результате сечения цилиндра x 2 + y 2 = 1 плоскостью x + y + z = 1. Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки линии на плоскость ХОУ находится на окружности x 2 + y 2 = 1. Отсюда получаем x = cost, y = sint. Но

Рис. 5.3 Рис. 5.4

эллипс лежит на плоскости x + y + z = 1, откуда z = 1 – x – y или z = 1 – cost – sint. Следовательно, параметрические уравнения линии L:

И, значит, циркуляция будет равна

Читайте также:  Что делать если потерял пенал

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9530 – | 7348 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Позвонить:
89-888-999-339
Пообщаться в ICQ:
984848 – Артур
Написать письмо:
89888999339@ya.ru

    Задачи из Шимановича И.Л
    Задачи по химии из методички И.Л Шимановича. Любая задача 25 руб. Мгновенно!
    xumuya.ru

Термех из Тарга С.М
Задачи по термеху из методички С.М. Тарга. Любая задача 50 руб. Мгновенно!
all-targ.ru

Магазин задач Яблонского А.А
Готовые задач по теоретической механике Яблонского А.А имеются в магазине.
teormahanica.ru

Вычисление потока и циркуляции векторного поля – высшая математика

Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V. Пусть G – основание пирамиды, ограничивающий G контур – нормаль к G, направленная вне пирамиды.
Требуется:
• Вычислить поток векторного поля через поверхность G в направлении нормали
• Вычислить циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности G с нормалью
• Вычислить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности непосредственно, и применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

Поток через основание пирамиды
Спроектируем поверхность G на плоскость Оху:

Направляющие косинусы вектора внешней нормали будут такими:

Поток через полную поверхность пирамиды (непосредственное вычисление)

Так как и на плоскости Оху .

Поток через полную поверхность пирамиды (Формула Остроградского)

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector