Формула герона задачи с решениями

Формулировка теоремы Герона

Площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра $p$ треугольника (рис 1) и каждой из его сторон $a$, $b$ и $c$ на полупериметр:

Треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$.

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по известным длинам его сторон.

Эта формула содержится в "Метрике" греческого математика и механика Герона Александрийского и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник – прямоугольный треугольник со соотношениями сторон $3 : 4 : 5$ .

Примеры решения задач

Задание. Вычислите площадь треугольника, зная, что его стороны равны 6 см; 5 см и 2,2 см.

Решение. Полупериметр

Тогда площадь треугольника, согласно формуле Герона, равна:

Ответ. $S=5.28left(mathrm<см>^<2>
ight)$

Предварительные сведения

Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.

Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c, BC=a, $$AC=b, AH=x, BH=h $(рис. 1).

Введем без доказательств теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть

Формула Герона

Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.

Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b и c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом

где $p$ – полупериметр данного треугольника.

Доказательство.

Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.

Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим

Читайте также:  Юнион пир трекер зеркало

Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$

Рассмотрим треугольник $ CBH$. По теореме Пифагора, получим

Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений

Из первого равенства найдем высоту

Так как полупериметр равен $p=frac<2>$, то есть $a+b+c=2p$, то

По теореме 1, получим

Теорема доказана.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Примеры задач на использование формулы Герона

Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.

Решение.

Найдем вначале полупериметр этого треугольника

По теореме 2, получим

Ответ: $4sqrt<5>$.

Найти площадь параллелепипеда, со сторонами $8$ см и $5$ см и меньшей диагональю, равной $5$ см.

Решение.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, где $AD=8 см, AB=5 см и BD=5 см$ (рис. 2).

Так как диагональ параллелограмма является его осью симметрии, то треугольники $ABD$ и $BDC$ равны между собой. Следовательно

Полупериметр треугольника $ABD$ равен

Ответ: $24$.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

оБКДЙФЕ РМПЭБДШ РБТБММЕМПЗТБННБ, ЕУМЙ ПДОБ ЙЪ ЕЗП УФПТПО ТБЧОБ 51, Б ДЙБЗПОБМЙ ТБЧОЩ 40 Й 74.

ч ФТЕХЗПМШОЙЛЕ ABC ДБОЩ ФТЙ УФПТПОЩ: AB = 26, BC = 30 Й AC = 28. оБКДЙФЕ ЮБУФШ РМПЭБДЙ ЬФПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ЪБЛМАЮЈООХА НЕЦДХ ЧЩУПФПК Й ВЙУУЕЛФТЙУПК, РТПЧЕДЈООЩНЙ ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ B .

ч РБТБММЕМПЗТБННЕ УП УФПТПОБНЙ 2 Й 4 РТПЧЕДЕОБ ДЙБЗПОБМШ, ТБЧОБС 3. ч ЛБЦДЩК ЙЪ РПМХЮЙЧЫЙИУС ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ЧРЙУБОП РП ПЛТХЦОПУФЙ. оБКДЙФЕ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ГЕОФТБНЙ ПЛТХЦОПУФЕК.

ч ФТЕХЗПМШОЙЛЕ УФПТПОЩ ПФОПУСФУС ЛБЛ 2:3:4. ч ОЕЗП ЧРЙУБО РПМХЛТХЗ У ДЙБНЕФТПН, МЕЦБЭЙН ОБ ВПМШЫЕК УФПТПОЕ. оБКДЙФЕ ПФОПЫЕОЙЕ РМПЭБДЙ РПМХЛТХЗБ Л РМПЭБДЙ ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

дМЙОЩ УФПТПО ОЕЛПФПТПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ Й ДЙБНЕФТ ЧРЙУБООПК Ч ОЕЗП ПЛТХЦОПУФЙ СЧМСАФУС ЮЕФЩТШНС РПУМЕДПЧБФЕМШОЩНЙ ЮМЕОБНЙ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛПК РТПЗТЕУУЙЙ. оБКДЙФЕ ЧУЕ ФБЛЙЕ ФТЕХЗПМШОЙЛЙ.

тЕЫЕОЙЕ

уФТБОЙГБ: 1 2 3 4 5 6 7 >> [чУЕЗП ЪБДБЮ: 62]

Читайте также:  У ани краски сколько слов в предложении

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector