Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.


Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=

Т.о., для умножения z1 на z2 модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8557 – | 7410 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее делать в алгебраической форме, умножение и деление проще выполнять, используя тригонометрическую форму комплексных чисел.

Возьмем два произвольных комплексных числа, заданных в тригонометрической форме:

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам тригонометрии

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы

складываются. Так как при этом модули преобразуются отдельно, а аргументы — отдельно, то выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической.

Из равенства (1) вытекают соотношения:

Поскольку деление — действие, обратное умножению, то при получаем, что

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного — разности аргументов делимого и делителя.

Остановимся теперь на геометрическом смысле умножения комплексных чисел. Формулы (1) — (3) показывают, что для нахождения произведения надо сначала увеличить модуль числа раз, не изменяя его аргумента, а затем увеличить аргумент полученного числа на не изменяя его модуля. Первая из этих операций геометрически означает гомотетию относительно точки О с коэффициентом , а вторая — поворот относительно точки О на угол, равный Считая здесь один множитель постоянным , а другой — переменным можем сформулировать результат так: формула

Читайте также:  Таттелеком оплата банковской картой по лицевому счету

определяет на комплексной плоскости произведение гомотетии относительно точки О (с коэффициентом, равным ) и поворота относительно той же точки О (на угол, равный , см. рис. 42). Отметим, что если

число представлено в тригонометрической форме то умножение на первый множитель дает указанную здесь гомотетию, а на второй — поворот.

Умножение комплексных чисел выполняется по различным формулам в зависимости от формы записи.

Формула умножения в алгебраической форме

Умножение производится путём поэлементного перемножения с раскрытием скобок по формуле с учётом того, что $ i^2 = -1 $:

$$ z_1 cdot z_2 = (x_1+y_1i) cdot (x_2 + y_2i) = (x_1 cdot x_2 – y_1 cdot y_2) + (x_1 cdot y_2 + x_2 cdot y_1)i $$

Произведение находится путем прямого перемножения всех членов:

Формула умножения в показательной форме

Для перемножения справедливо равенство:

$$ z_1 cdot z_2 = r_1 cdot r_2 cdot (cos(varphi_1+varphi_2) + isin(varphi_1+varphi_2)) $$

Примеры решений

Формула умножения в тригонометрической форме

$$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (2-3i) = $$

Раскрываем скобки поэлементно перемножая множители:

$$ = (3 cdot 2 + 3 cdot (-3i) + i cdot 2 + i cdot (-3i) = $$

Упрощаем выражение с учётом того, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 6 – 9i + 2i + 3 = 9 – 7i $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Выполнить умножение комплексных чисел: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $
Решение
Ответ
$$ z_1 cdot z_2 = 9 – 7i $$

Перегрупировываем множители и используем свойство степени $ e^x cdot e^y = e^ $:

Пример 2
Перемножить комплексные числа: $ z_1 = 3e^<frac<pi><2>i> $ и $ z_2 = 2e^<frac<pi><3>i> $
Решение
Ответ
$$ z_1 cdot z_2 = 6e^<frac<5pi><6>i> $$
Читайте также:  Формула расчета расстояния между двумя точками

При умножении в тригонометрической форме складываются аргументы и перемножаются модули:

$$ z_1 cdot z_2 = 2 cdot 4 cdot igg ( cos (frac<pi> <3>+ frac<pi><4>) + isin (frac<pi> <3>+ frac<pi><4>) igg ) = 8 igg (cos frac<7> <12>+ isin frac<7> <12>igg ) $$

Пример 3
Умножить числа $$ z_1 = 2igg (cosfrac<pi> <3>+ isin frac<pi> <3>igg ) ext <и>z_2 = 4 igg (cosfrac<pi> <4>+ isin frac<pi> <4>igg ) $$
Решение

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *