Функция лапласа четная или нечетная

Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 5 можно принять F(x) = 0,5.

Пример 21Завод изготавливает конденсаторы. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя: а) ровно 10 конденсаторов; б) не менее 20 и не более100 конденсаторов.

Предполагая, что выход из строя конденсаторов осуществляется независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = <конденсатор выйдет из строя>равна 0,2. То есть p = 0,2, q = 0,8.

Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятностей событий B и C можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа.

Для вычисления вероятности события В воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае: n = 100; p = 0,2; q = 0,8; m = 10;

По таблицам значений функции находим

б) Для вычисления вероятности события С воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,2; q = 1 – 0,2= 0,8; k₁ = 20; k₂ =100;

;

По таблицам значений функции находим
F (0) = 0, F (20) = 0,5.

Таким образом, .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9529 – | 7348 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

По таблицам значений функции находим

;

По таблицам значений функции находим
F (0) = 0, F (20) = 0,5.

Таким образом, .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8526 – | 8113 – или читать все.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласаимеет вид:

График функции Лапласа приведен на рис.5.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:

2) Функция Ф(х) монотонно возрастающая.

4) Ф(+¥)=0,5; Ф(-¥)=-0,5. На практике можно считать, что при х³5 функция Ф(х)=0,5; при х£-5 функция Ф(х)=-0,5.

2.2.Существует другие формы функции Лапласа:

В отличие от этих форм функция Ф(х) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями:

ПРИМЕР 2.Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами: m=3, s=4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х: а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически.

Решение.а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х попадет в заданный интервал (a,b), где a=2 и b=6, равна:

Значения функции Лапласа Ф(х) определяют по таблице, приведенной в приложении, учитывая, что Ф(–х)= –Ф(х).

б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение меньше 2, равна:

в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение больше 10, равна:

г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=2, равна:

С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6).

1 5

Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х

N(3;4)
ПРИМЕР 3.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Решение.Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=15, равна:

ПРИМЕР 4. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение.Случайная величина Х – отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М(Х)=m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=0,7, равна:

Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

ПРИМЕР 5.Доказать правило «3s».

Решение.Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=3s, равна:

ПРИМЕР 6.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m=10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

Решение.Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m=10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то:

Автор: Мария Сухоруких
Распечатать

Оцените статью:

(0 голосов, среднее: 0 из 5)

Поделитесь с друзьями!