Являются ли линейными следующие преобразования

Линейные преобразования

Функциональная зависимость – одно из основных понятий математики. Мы говорим, что скалярная величина у является функцией скалярного аргумента х, если каждому значению переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменной у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Понятие функциональной зависимости легко обобщается на векторные функции от скалярного аргумента. Мы говорим, что вектор у является вектор-функцией скалярной величины х, если каждому значению скалярной переменной х (взятому из некоторой совокупности значений) соответствует определенное значение переменного вектора у. Закон соответствия обычно записывают в виде , где f – символическое обозначение функции.

Распространим понятие функциональной зависимости на тот случай, когда не только функция, но и аргумент является вектором.

Если каждому вектору х n-мерного пространства (взятому из некоторой совокупности векторов) соответствует вектор у того же пространства, то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием (оператором).

Закон соответствия обычно записывают в виде , где А – символическое обозначение преобразования. Вектор называют образом вектора х.

Самым простым (и в то же время очень важным) видом преобразования являются линейные преобразования.

Определение. Преобразование А называется линейным, если оно определено для всех векторов пространства, причем для любых векторов х₁ и х₂ и любого скаляра a справедливы равенства

1. ,

2. .

Из этого определения следует, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов х₁, х₂, …, х_k в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов,

.

Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования:

тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т.е.

,

нулевое преобразование О, ставящее в соответствие каждому
вектору х нулевой вектор:

.

Примеры. 1. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство R 3 и в нем преобразование, состоящее в повороте R 3 вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору х ставится в соответствие вектор , полученный из него данным поворотом. Условия 1 и 2 легко проверяются. Проверим, например, первое условие: означает, что векторы х₁ и х₂ сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается. означает, что векторы х₁ и х₂ сперва поворачиваются, а затем складываются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же.

2. Пусть R¢ – некоторая плоскость в трехмерном пространстве R 3 , проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору х его проекцию на эту плоскость. Условия 1 и 2 опять легко проверяются. Например, первое условие означает, что проекция суммы равна сумме проекций.

3. Показать, что преобразование , где – действительное число, является линейным.

○ Пусть и – произвольные векторы n-мерного пространства,

– произвольное действительное число. Найдем образы векторов:

, .

Оба условия, определяющие линейное преобразование, выполнены, значит, данное преобразование является линейным. Рассмотренное преобразование А называется преобразованием подобия. ●

4. Преобразование А в линейном пространстве R определено равенством , где – фиксированный ненулевой вектор. Является ли преобразование А линейным?

○ Найдем образы произвольных векторов и пространства R и их суммы: , , .

Так как , то преобразование А не является линейным. ●

5. Выяснить, является ли преобразование линейным, если вектор .

○ По условию вектор . Пусть вектор . Тогда по определению операций над векторами:

, .

Найдем образы векторов:

,

,

.

Так как выполнены оба условия, определяющие линейное преобразование, то преобразование А является линейным. ●

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10638 – | 8011 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 5.11 Пусть &nbsp &nbsp &nbsp. &nbsp Являются ли линейными следующие преобразования:

Решение.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Преобразование &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp является линейным, так как оно может быть представлено в виде произведения матрицы

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и столбца координат вектора

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp А такое произведение обладает свойствами линейности, ведь это произведение матриц. То есть

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Преобразование &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp не является линейным.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Действительно
,
а
,
и, следовательно, &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . То есть, одно из свойств линейности не выполняется. Поэтому преобразование нелинейное. &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Преобразование &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp не является линейным.
&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Действительно
,
а
,
и, следовательно, &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . То есть, одно из свойств линейности не выполняется. Поэтому преобразование нелинейное.

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Ответ: Преобразование &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp является линейным, а преобразования &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp нелинейные.

Пусть Х=(Х1,Х2,Х3), являются ли линейными следующие преобразования?
АХ=(6Х1-5Х2-4Х3, 3Х1-2Х2-3Х3,0)
ВХ=(6Х1-5Х2-4, 3Х1-2Х2-3Х3,0)
СХ=(6Х1-5Х2-4Х3, 3Х1-2Х2-3Х3^2,0)

P.s. там какие то 2 способа есть, и вот нужно написать какие, и выполнить проверку

Итак, в 1-м случае преобразование линейно. Во 2-м и 3-м случаях линейности НЕТ.