Являются ли матрицы перестановочными

Вариант №3

Задание № 1. Алгебра матриц

2) Произведение матриц АВ и ВА. Выяснить, является ли данные матрицы перестановочными.

Решение.

1) Найдем 2А:

Найдем 3B:

Вычисляем 2А-3В: , тогда

Так как АВ≠BA, то матрицы А и В не являются перестановочными.

Задание № 2. Определители

Вычислить определитель пятого порядка:

Решение.

Запишем матрицу в виде:

Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.

Умножим 4-ую строку на (k = -1 / 1 = -1) и добавим к 5-ой:

C 5 -C 4 =

-1

Умножим 3-ую строку на (k = -1 / 1 = -1) и добавим к 4-ой:

C 4 -C 3 =

-2

-1

Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 1 = -1) и добавим к 3-ой:

C 3 -C 2 =

-2

-1

Умножим 1-ую строку на (k = -1 / 4 = -1 /₄) и добавим к 2-ой:

C 2 -C 1 =
11 /₄	3 /₄	3 /₄	3 /₄
-2
-2
-1

Полученную матрицу разложим по элементам 1-ого столбца и преобразуем ее:

Добавим 4-ую строку к 3-ой:

C 3 +C 4 =	11 /₄	3 /₄	3 /₄	3 /₄
-2
-2
-1

Добавим 3-ую строку к 4-ой:

C 4 +C 3 =	11 /₄	3 /₄	3 /₄	3 /₄
-2
-2
-2	-1

Умножим 1-ую строку на (k = 2 / 11 /₄ = 8 /₁₁) и добавим к 2-ой:

C 2 + 8 /₁₁C 1 =	11 /₄	3 /₄	3 /₄	3 /₄
28 /₁₁	6 /₁₁	6 /₁₁
-2
-2	-1

Полученную матрицу разложим по элементам первого столбца и преобразуем ее:

Умножим 2-ую строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 3-ой:

C 3 -C 2 =	28 /₁₁	6 /₁₁	6 /₁₁
-2
-1

Умножим 1-ую строку на (k = 2 / 28 /₁₁ = 11 /₁₄) и добавим к 2-ой:

C 2 + 11 /₁₄C 1 =	28 /₁₁	6 /₁₁	6 /₁₁
3 /₇	17 /₇
-1

Полученную матрицу разложим по элементам первого столбца и преобразуем ее:

Определитель равен ∆ = 4 * 11 /₄ * 28 /₁₁ * ( 3 /₇*2 – (-1)* 17 /₇) = 92

Ответ:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9530 – | 7348 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Доказать, что для того чтобы квадратная матрица А была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была скалярной.

Пусть порядок А равен n и для любой квадратной матрицы B порядка n выполнено AB = BA.

Рассмотрим в качестве матрицы B матрицу, у которой все элементы равны нулю, кроме i-го диагонального. Пусть он равен d.

Тогда в AB все стобцы будут нулевые, кроме i-го, который будет равен i-му столбцу матрицы A, умноженному на d.

В BA нулевыми будут все строки, кроме i-ой, которая будет равна i-ой строке матрицы A, умноженной на d. Таким образом получаем равенство $%da_=0$% => $%a_=0$%, j=1,2. i-1,i+1. n.

Перебирая все i от 1 до n, получаем, что матрица A необходимо должна быть диагональной. Теперь докажем что она должна быть скалярной.

Рассмотрим в качестве матрицы B матрицу элементарного преобразования, которое меняет местами 1-ый и i-ый столбцы.

Тогда в AB на месте $%a_<11>$% будет 0, а на месте $%a_$% будет $%a_$%.

Матрица BA получается из матрицы А обменом 1-ой и i-ой строки, таким образом в BA на месте $%a_$% окажется $%a_<11>$%.

Приравнивая AB и BA, получаем что $%a_<11>=a_$%, i=2. n. Это означает что A должна быть скалярной.

Рассматриваются матрицы, результатом умножения которых на любую прямоугольную матрицу является перестановка ее строк или столбцов.

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.

Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0, . 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы A = || a_{i j} || является вторая строка (a₂₁a₂₂a₂₃ . ) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

Таким образом, если в i-ой строке матрицы перестановок P единица расположена в j-ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению j-ой строки матрицы A в позицию i-ой строки.

Аналогично, если в i-ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в j-ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению j-го столбца матрицы A в позицию i-го столбца.

Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства: