Эпсилон окрестность точки определение

Определение окрестности точки

Окрестностью действительной точки x называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 – произвольные положительные числа.

Эпсилон – окрестностью точки x называется множество точек, расстояние от которых до точки x меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон – окрестность:
(2) .
Эпсилон – окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ – окрестность, σ – окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон – окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x :
.

Проколотая эпсилон – окрестность точки x :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность:
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность:
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

Читайте также:  Теория автоматов примеры решения задач

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Читайте также:  Соединение невозможно перезвоните позднее в чем причина

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно свойству окрестностей ⇑, . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-04-2018

Предел последовательности — n n sin(1/n) 1 0.841471 2 0.958851 . 10 0.998334 . 100 0.999983 С ростом значения n, значение функции n sin(1/n) приближается к 1. Говорят, что предел последовательности n sin(1/n) равен 1. У этого термина существуют и другие… … Википедия

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД — (фазовое превращение), в широком смысле переход в ва из одной фазы в другую при изменении внеш. условий темп ры, давления, магн. и электрич. полей и т. д.; в узком смысле скачкообразное изменение физ. св в при непрерывном изменении внеш.… … Физическая энциклопедия

Непрерывное отображение — или непрерывная функция в математике это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений. Наиболее общее определение формулируется для отображений… … Википедия

Вега — У этого термина существуют и другие значения, см. Вега (значения). Вега Звезда … Википедия

Vega — Вега Звезда Положение Веги в созвездии Лиры История исследования Обозначения Vega, α Lyr, 3 Lyr, HIP 91262[1], GCRV 11085 … Википедия

Вега (звезда) — Вега Звезда Положение Веги в созвездии Лиры История исследования Обозначения Vega, α Lyr, 3 Lyr, HIP 91262[1], GCRV 11085 … Википедия

Читайте также:  Сокет fs1 список процессоров

Войти

Эпсилон-окрестности или О заключении.

В математическом анализе есть понятие эпсилон-окрестности. Если просто: берется точка, а ее эпсилон-окрестность – это все точки, находящиеся от нее на расстоянии не более эпсилон (попадающие в N-мерный шар с центром в этой точке; в случае прямой – отрезок, на плоскости – круг и т.д.). Но такая окрестность определяется не только для конечной точки. Эпсилон-окрестностью бесконечности будет "внешность" шара с центром в 0 и радиусом 1/эпсилон. Таким образом, одна и та же сфера будет ограничивать сразу два шара. И по ней не ясно, какой из этих шаров имеется ввиду.

К чему это я? А к тому, что, когда мы игнорируем кого-нибудь, отрезаем человека от себя, отводим ему пространство, и не заглядываем туда – неизвестно, кто от кого отгорожен. Пленник может быть обособлен от мира тюремной стеной, а может мыслить мир, отрезанным, отгороженным от себя. Вопрос восприятия. Отношение субъект-объект.

Если вернуться к образу заточения в бутылке забвения для определенного человека, можно взглянуть на это по-разному. В какой-то момент можно перестать мыслить себя (а значит, и быть!) пленником. Сфера-тюрьма понемногу раздвигается и становится сферой-оградой. Вроде защиты от вора. Она становится своеоброазной камерой для бывшего тюремщика (он, правда, об этом может и не догадываться). Клеточная мембрана выворачивается наизнанку, частичная проницаемость в другую сторону.

Смотрю сейчас на эти, порой бессвязные, мысли и вижу одну по сути идею. Идею диалектики, единства и борьбы противоположностей, возможно свобода. Но тут же и не-свобода – опять диалектика. Что ж, случилось прийти к этому петляющей, прерывистой, местами заросшей, но своей тропкой. Собран велосипед? Зато сборщик осознал его устройство.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector