Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 1. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Тема:Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Уравнения с раздельными и разделяющимся переменными.Однородные уравнения. Дифференциальныех уравнения, приводимые к однородным.

Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

Надо продифференцировать равенство (8.1) n раз, считая и функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (8.1) исключить произвольные постоянные с1, с2, ….сn.

Пример 8.1:Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

так как уравнение семейства содержит 2 параметра, дифференцируем его 2 раза, считая у = у(х)

Исключим С1. Из уравнения (8.3) имеем С1 =-2(у- с2 )у , , подставляя это в (8.2), получим

Исключим С2. Из уравнения (8.4) имеем у-с2=у ,2 /у ,, , подставляя это в (8.5), получим после упрощения дифференциальное уравнение у , +2ху ,, =0

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8006 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Как известно, решение дифференциального уравнения изображается графически в виде семейства интегральных кривых . Можно поставить и обратную задачу: сконструировать дифференциальное уравнение для заданного семейства плоских кривых , описываемых алгебраическим уравнением!

Итак, допустим, что семейство плоских кривых описывается неявным однопараметрическим уравнением: [Fleft(
ight) = 0.] Будем предполагать, что функция (F) имеет непрерывные частные производные по (x) и (y.) Чтобы записать соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка, нужно выполнить следующие шаги:

Читайте также:  Список фио людей таблица excel

Продифференцировать (F) по (x,) рассматривая (y) как функцию (x:) [frac<<partial F>><<partial x>> + frac<<partial F>><<partial y>> cdot y’ = 0;]

Решить систему уравнений: [left< egin frac<<partial F>><<partial x>> + frac<<partial F>><<partial y>> cdot y’ = 0\ Fleft(
ight) = 0 end

ight.,] исключая из нее параметр (C.)

В случае, если семейство плоских кривых задано двухпараметрическим уравнением [Fleft( ,>
ight) = 0,] то последнее выражение нужно продифференцировать дважды, рассматривая переменную (y) как функцию (x) и затем исключая параметры (<
>) и (<>) из системы трех уравнений.

Аналогичное правило применяется и в случае (n)-параметрического семейства плоских кривых.

Продифференцируем заданное уравнение по переменной (x:) [y’ = 2x – C.] Запишем последнее уравнение совместно с исходным алгебраическим уравнением и исключим параметр (C:) [ <left< egin y’ = 2x – C\ y = – Cx end
ight.,>;; <Rightarrow C = y’ – 2x,>;; <Rightarrow y = – left( ,>;; <Rightarrow y’x + y = 3.> ] В результате получаем дифференциальное уравнение (не разрешенное относительно производной), соответствующее данному семейству плоских кривых.

Продифференцируем данное уравнение дважды по переменной (x) и запишем следующую систему трех уравнений: [left< egin y = + x\ y’ = 2x + \ y” = 2 end
ight..] Из последнего уравнения выразим параметр () и подставим его в первые два уравнения: [ <= frac<><2>,>;; <Rightarrow left< <egin
<*<20>> ><2> + x>\ ;; <Rightarrow y = frac<><2> + left( <2>,>;; <Rightarrow y = y’x – frac<><2>,>;; <Rightarrow 2y = 2y’x – y”,>;; <Rightarrow y”- 2y’x + 2y = 0.> ]

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector