Составить уравнение касательной к гиперболе перпендикулярной прямой

2005-2006 Учебный физико-математический студенческий центр

Легкое решение задач по математике и физике! #4

Здравствуйте, уважаемые наши подписчики!

В прошлый раз мы с Вами решили три очень простые задачи по аналитической геометрии.

Сегодня мы с Вами рассмотрим более сложные задачи.

Итак, представляю Вам четвёртый выпуск рассылки.

Задача 1.
Написать уравнение касательных к эллипсу x 2 /16+ y 2 /9 = 1 , параллельных прямой x + y = 1 .

Решение:
выразим из уравнения эллипса y :

производная по y :

y ‘ = ± 3 x/ V (256-16 x 2 )

Пусть касательные проходят через точку (X, Y) . По условию задачи y ‘ ( X ) =-1 :
-1= – 3 x/ V (256-16 x 2 )

x =16/5 → y =9/5 → y = -x +5

x =-16/5 → y =-9/5 → y = -x -5

Ответ: две касательных: y = -x ± 5,

Задача 2.
Написать уравнение касательных к гиперболе x 2 – y 2 /4 = 1 , проведённых из точки M( 1 , 4 ).

выразим из уравнения гиперболы y :

производная по y :
y ‘ = ± 2 x/ V ( x 2 – 1)

уравнения касательных к гиперболе в точке:

y – Y0 = ± 2 ( x – X ) X / V ( X 2 – 1) → y 2 ( X 2 – 1 ) = 4( x X – 1 ) 2

подставляя координаты точки из условия M( 1 , 4 ), получим:
16 X 2 -16 =4 X 2 -8 X +4 → X =(-2 ± 6)/6

1) X =1 – для этого значения угол наклона касательной равен ∞:
x =1 – уравнение касательной.

2) X =-5/3 → Y = ±8/3
получим две касательных: y= ±5/2( x+5/3 ) ±8/3
из этих двух касательных только одна проходит через точку M( 1 , 4 ):
y= 5/2 x+3/2 – уравнение касательной.

Убедимся, что каждая из кривых , являющихся эллипсом, гиперболой или параболой, представляет собой объединение графиков двух функций. Рассмотрим, например, каноническое уравнение эллипса Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которой имеют неотрицательные ординаты y, есть график функции

а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции

Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы найдем, что гипербола представляет собой объединение графиков функций

Читайте также:  Эппл вотч не создает пару

а из канонического уравнения параболы (3.6) вытекает, что эта кривая есть объединение график функций

  • 1. Найдем уравнение касательной к эллипсу в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть – текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.2). Тогда уравнения касательной имеет вид
  • 2.

Учитывая, что точка лежит на эллипсе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.1) и (3.2)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к эллипсу получим:

уравнение касательный эллипс

3. Найдем уравнение касательной к гиперболе в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть – текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.5). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на гиперболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.4) и (3.5)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к гиперболе получим:

4. Найдем уравнение касательной к параболе в его точке , считая при этом , а . Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке , производная функции (3.6). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на параболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.6) и (3.7)), т.е. . Т.к.

Раскроем скобки и получим

После преобразований уравнение касательной к параболе получим:

Составить уравнения касательной к эллипсу проведенной из точки .

Уравнение касательной к эллипсу имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данному эллипсу будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Читайте также:  Физика решать задачи на среднюю скорость

Но точки прикосновения ( лежит на данном эллипсе, поэтому

Решим систему из (2) и (3) уравнения:

Решая систему (2) и (3), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (1) вместо найденные значения:

Составить уравнения касательной к гиперболе проведенной из точки .

Уравнение касательной к гиперболе имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данной гиперболе, поэтому

Решим систему из (5) и (6) уравнения:

Решая систему (5) и (6), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (4) вместо найденные значения:

Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой 10.

Из условия известно, что у точки A координаты равны .

1) Найдем , подставив значение в уравнения . И получим

2)Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Подставим в данное уравнение координаты точки , и получим два уравнения касательной.

Составить уравнение прямой которая, касается параболы и перпендикулярна к прямой .

Для уравнения найдем коэффициенты :

Обратим внимания на то, что нельзя пользоваться формулой , т.к. оно было получено для параболы в виде , а мы имеем параболу .

Составим систему уравнений:

Для нахождения касательной найдем такое, что , т.е. есть только одна точка касания:

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Составить уравнения касательных к гиперболе: x²/22 – y²/2 = 1, перпендикулярных к прямой 3x+2y-3=0

Решение: Уравнение касательной к гиперболе x²/a² – y²/b² = 1 имеет вид

x*x₁/22 –y*y₁/2 =1 ⇔ x*x₁ – 11y*y₁ – 22 = 0

перпендикулярна к прямой

Читайте также:  Устройство не имеет необходимых служб bluetooth mac

3x + 2y – 3 = 0 имеет вид 2(x – x₂) – 3(y – y₂) = 0

Касательная к гиперболе имеет угловой коэффициент

Касательная перпендикулярная к прямой имеет угловой коэффициент

Очевидно что эти коэффициенты равны

x₁/(11y₁) = 2/3 ⇔ x₁ = 22y₁/3

кроме того касательная в точке (x₁; y₁) имеет общую точку с гиперболой

y₁²(44 – 9)/18 = 1 ⇔ y₁² = 18/35

y₁ = 3√(2/35) y₁ = – 3√(2/35)

x₁ = 22√(2/35) x₁ = -22√(2/35)

Получили две точки через которые проходит касательная перпендикулярная прямой (22 √(2/35); 3√(2/35)) и (-22√(2/35);-3√(2/35))

Запишем уравнение касательных

x√(2/35) – 1,5√(2/35)y = 1⇔ 2x – 3y – 2√(35/2) = 0

и -x√(2/35) + 1,5√(2/35)y = 1 ⇔ 2x – 3y + 2 √(35/2) = 0

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector