Составить уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно

Пусть дана некоторая точка М и вектор n. Проведем через точку М прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M – произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор (overrightarrow<0>M>) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и (overrightarrow<0>M>) равнялось нулю:

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M и M имеют координаты (x ; у ) и (x; у).

Тогда (overrightarrow<0>M>) = (xx; уу). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М (x; у) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

– 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x – 5у – 17 = 0.

Задача 2. Даны точки M1(2; -1) и M2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору (overrightarrow<1>M_<2>>).

Нормальный вектор искомой прямой n = (overrightarrow<1>M_<2>>) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M1(-5; 2), M2(5; 6) и M3(1; -2) проведена медиана M1А1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А1 перпендикулярно медиане M1A1 (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = (overrightarrow<1>A_<1>>). Определим его координаты. Точка A1 – середина отрезка M2M3, поэтому, если (x1; y1) – ее координаты, то ( x_1 = frac<5+1><2>=3, ;;а ;; y_1=frac<6-2><2>=2 ).

Тогда нормальный вектор n = (overrightarrow<1>A_<1>>) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

Читайте также:  Сталкер чем открыть файлы db

Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = (overrightarrow).

Так как n = (2-(-3); 7 – (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

или, окончательно, 5х + 8у – 57 = 0.

Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /9x – 1 /3 (a = 4 /9). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .

1.Пусть прямая, проходит через точку T1(x1;y1) и перпендикулярно прямой y=kx+b, тогда её можно представить уравнением:

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой.
2. Если прямая проходит через ту же точку T1(x1;y1) и перпендикулярно прямой, но только записанной в виде Ax+By+C = 0, то уравнение можно представить как:

A (y − y1) − B (x − x1 ) = 0

Пример 1
Составить уравнение прямой, проходящей через точку L(1;-2) и перпендикулярно прямой

4x-3y-1 = 0 (на рисунке прямая, обозначенная красным цветом )

Решение
Данную прямую можно представить уравнением y = 4/3x-1/3 (здесь a = 4/3). Уравнение искомой прямой есть

Читайте также:  Точка кюри неодимового магнита

Пример 2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-1;-2) и перпендикулярной к прямой 3y+2=0

Решение
Здесь A=0, B=3, получаем 3(x+1)=0, т.е. x+1=0. В этом случае формула неприменима.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector