Составить уравнения общих касательных к кривым

Составьте уравнение общей касательной к двум кривым 2-го порядка: $%frac <20>+ frac <5>= 1$%; $%frac <80>+ frac <4y^2> <5>= 1$%.

задан 20 Окт ’14 4:05

donki
78 ● 1 ● 9
90&#037 принятых

@alisainy, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

1 ответ

Уравнение общей касательной к эллипсу будет иметь вид $$y = k cdot x + c.$$ Для того чтобы найти $%k$% и $%c$%, нужно подставить в каждое уравнение эллипса данное значение общей касательной. Затем выразить оба уравнения как от переменной $%x$% и параметрами $%k$% и $%c$%. Условие единственности решения, а в данном случае касания будут задаватся нулевым дискриминантом. Поэтому нужно будет выразить дискриминант из каждого уравнения, приравнять к нулю и решить систему с двумя уравнения от $%k$% и $%c$%. Итак, подставляем $%y = k cdot x + c$% в каждое уравнение эллипса и выражаем как квадратное уравнение от переменной $%x$%: $$(4 + 1) + (8ck)x + 4 – 20 = 0< ext< и >>(64 + 1) + (128ck)x + 64 – 80 = 0$$ Находим дискриминант каждого уравнения и приравниваем к нулю: $$egin – 20 = 5\4 – 320 = 5end$$ Получаем 4 решения $$left( < – frac<5><2>; – frac<1><4>>
ight),left( <frac<5><2>; – frac<1><4>>
ight),left( < – frac<5><2>;frac<1><4>>
ight),left( <frac<5><2>;frac<1><4>>
ight)$$

Искомые касательные: $$y = frac<1><4>x + frac<5><2>,,y = frac<1><4>x – frac<5><2>,,y = – frac<1><4>x + frac<5><2>,,y = – frac<1><4>x – frac<5><2>$$

Картинка:

2) y^2=2x
или
y = корень (2)*корень (х)
y’ = 1/(корень (2)*корень (х) )
приравняем тангенсы
1/(корень (2)*корень (х) ) = -x/(корень (3-x^2)*корень (3)
возведем в квадрат обе части
1/(2*х^2) = x^2/((3-x^2)*3)
или
9 – 3*x^2 = 2*x^4

3.9 Касательные

Пусть на плоскости задана кривая уравнением $F(x,y)=0$ (т.е. неявным образом). Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит этой кривой. Выпишем уравнение касательной к кривой в этой точке. Напомним, что если кривая задана уравнением $y=f(x)$, то, как известно из курса дифференциального исчисления, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0,y_0)$, лежащей на кривой, равен значению производной $f(x)$ в этой точке, т.е. $k=f'(x_0)$. Таким образом, уравнение касательной (уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку) имеет вид: [ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0). ] Если кривая задана неявно, то производная $f'(x_0)$ вычисляется согласно соотношению [ f'(x_0)=-frac<frac<partial F><partial x>><frac<partial F><partial y>>|_. ] Подставляя в уравнение касательной, получаем уравнение касательной в окончательном виде: egin (y-y_0)cdot frac<partial F><partial y>(x_0, y_0)+(x-x_0)cdot frac<partial F><partial x>(x_0, y_0)=0. (26) label end Рассмотрим с помощью этого соотношения касательные к кривым второго порядка.

Читайте также:  Что означает синее подчеркивание в ворде

1. Касательная к эллипсу. Исходное уравнение [ frac+frac=1, ] так что $frac<partial F><partial x>=frac<2x>$, $frac<partial F><partial y>=frac<2y>$. При этом уравнение (26) принимает вид [ frac<2(x-x_0)x_0>+frac<2(y-y_0)y_0>=0. ] Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на эллипсе, получаем уравнение касательной эллипса, проходящей через эту точку: egin frac+frac=1. (27) label end

2. Касательная к гиперболе. Исходное уравнение [ frac-frac=1, ] так что $frac<partial F><partial x>=frac<2x>$, $frac<partial F><partial y>=-frac<2y>$. При этом уравнение (26) принимает вид [ frac<2(x-x_0)x_0>-frac<2(y-y_0)y_0>=0. ] Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на гиперболе, получаем уравнение касательной гиперболы, проходящей через эту точку: egin frac-frac=1. (28) label end

3. Касательная к параболе. Исходное уравнение [ y^2-2px=0, ] так что $frac<partial F><partial x>=-2p$, $frac<partial F><partial y>=2y$. При этом уравнение (26) принимает вид [ -2p(x-x_0)+2(y-y_0)y_0=0. ] Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на параболе, получаем уравнение касательной параболы, проходящей через эту точку: egin yy_0=p(x+x_0). (29) label end

Дана парабола $y^2=12x$. Провести к ней касательную в точке с абсциссой $x_0=3$.

Решение. Из уравнения параболы следует, что в данном случае $p=6$. Если абсцисса точки параболы равна 3, то ордината $y_0=6$ (второй вариант $y_0=-6$ обсуждается аналогично). Согласно (29) уравнение касательной имеет вид: $6y=6(x+3)$, или, сокращая на 6, $y=x+3$.

1. Написать уравнения касательных к эллипсу [ frac<169>+frac<25>=1, ] перпендикулярных прямой $13x+12y-14=0$.

2. Составить уравнения касательных, проведенных из точки $M(-6,3)$ к эллипсу [ frac<15>+frac<9>=1. ]

3. К данной гиперболе [ frac<15>-frac<6>=1 ] провести касательную параллельно прямой $x-2y=0$.

4. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот $y= pm x/2$ и уравнение одной из ее касательных, $5x-6y-8=0$.

5. Через точку $M(5,-7)$ провести касательную к параболе $y^2=8x$.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector