Среднее геометрическое двух чисел формула

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

G ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x 1 x 2 ⋯ x n n = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n <displaystyle G(x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)=<sqrt[]<1>x_<2>cdots x_>>=left(prod _^x_
ight)^<1/n>>

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным [1] , поскольку среднее геометрическое g <displaystyle g> двух чисел a 1 <displaystyle a_<1>> и a 2 <displaystyle a_<2>> обладает следующим свойством: a 1 g = g a 2 <displaystyle <frac <1>>>=<frac <2>>>> , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же как второе число к среднему геометрическому.

Содержание

Свойства [ править | править код ]

  • Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

min ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ G ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ max ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) <displaystyle operatorname (x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)leqslant G(x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)leqslant operatorname (x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)>

  • Среднее геометрическое двух чисел a = A 0 , b = G 0 <displaystyle a=A_<0>,b=G_<0>>является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

A i = A i − 1 + G i − 1 2 , G i = A i − 1 G i − 1 <displaystyle A_=<frac +G_><2>>,quad G_=<sqrt G_>>>

  • Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2] .

Среднее геометрическое взвешенное [ править | править код ]

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел x 1 , … , x n <displaystyle x_<1>,ldots ,x_

> с вещественными весами w 1 , … , w n <displaystyle w_<1>,ldots ,w_> определяется как

x ¯ = ( ∏ i = 1 n x i w i ) 1 / ∑ i = 1 n w i = exp ⁡ ( 1 ∑ i = 1 n w i ∑ i = 1 n w i ln ⁡ x i ) <displaystyle <ar >=left(prod _^

x_^>
ight)^<1/sum _^
w_>=quad exp left(<frac <1><sum _^w_>>;sum _^w_ln x_
ight)>

Читайте также:  Теплэко сколько потребляет электроэнергии

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии [ править | править код ]

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Чтобы найти среднее геометрическое, нужно перемножить все числа и извлечь из них корень. Степень корня определяется количеством чисел.

Найти среднее геометрическое 2, 4 и 8 .

Обозначим

среднее геометрическое буквой « n ».

По определению выше найдем произведение всех чисел.
2 · 4 · 8 = 64

По условию нам дано 3 числа, значит корень, который мы будем извлекать из произведения будет третьей степени (кубический).

В итоге мы получаем формулу среднего геометрического:

Формула среднего геометрического

Интересный факт: среднее геометрическое всегда будет меньше среднего арифметического тех же чисел. За исключением случая, когда все взятые числа равны друг другу.

Средние величины в статистике дают обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная из них – среднее арифметическое. Она применяется, когда агрегатный показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате умножения.

Такой пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:

Читайте также:  Упрощенное рисование для планирования анимации

То есть корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Например, среднее геометрическое двух чисел – это квадратный корень из их произведения

Среднее геометрическое трех чисел – кубический корень из произведения

и т.д.

Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.

Чтобы лучше разобраться, чем отличаются среднее арифметическое и среднее геометрическое, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.

Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b, которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n. Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n.

Рассчитаем, чему равна высота b. В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство

Значит, высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.

В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.

Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.

На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала, с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.

Ниже видео, как найти среднее геометрическое чисел в Excel.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector