Таблицу из n строк и m столбцов

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j– номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n – порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

Читайте также:  Устройству acpi 808622a8 1 требуется дальнейшая установка

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x– вектор длины n – образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q– произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Линейная алгебра

Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Читайте также:  Топ аниме девушек с большой грудью

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:

В этой матрице две строки (m = 2) и три столбца (n = 3), т.е. она состоит из шести элементов aij, где i – номер строки, j – номер столбца. При этом принимает значения от 1 до 2, а от одного до трех (записывается ). А именно, a11= 3; a12= 0; a13= -1; a21= 0; a22= 1,5; a23= 5.

Матрицы А и В одного размера (m х n ) называют равными, если они поэлементно совпадают, т.е. aij = bij для , т.е. для любых i и j (можно записать "i, j).

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, а матрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.

Например, – матрица-строка, а .

Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.

Например, – квадратная матрица второго порядка.

Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (aij, i = j). Эти элементы образуют главную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементы a11= 3 и a22= 5.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, – диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной (обычно обозначаются буквой Е). Например, – единичная матрица третьего порядка.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например, – треугольная матрица третьего порядка.

Читайте также:  Создать свою аватарку для стима

Дата добавления: 2015-10-06 ; просмотров: 1190 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

У Семена есть прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов. Семен пронумеровал строки таблицы, начиная от единицы, сверху вниз, а столбцы — начиная от единицы, слева направо. Ячейку, расположенную на пересечении x -ой строки и y -ого столбца, будем обозначать парой чисел (x, y) . Углами таблицы будем называть ячейки: (1, 1) , (n, 1) , (1, m) , (n, m) .

Семен считает, что в этой таблице некоторые ячейки являются хорошими . Причем известно, что ни одна хорошая ячейка не является углом таблицы.

Изначально все ячейки таблицы бесцветны. Семен хочет покрасить все ячейки своей таблицы. За один ход он может выбрать любую хорошую ячейку таблицы (x 1, y 1) , произвольный угол таблицы (x 2, y 2) и закрасить все ячейки таблицы (p, q) , для которых выполняются оба неравенства: min(x 1, x 2) ≤ pmax(x 1, x 2) , min(y 1, y 2) ≤ qmax(y 1, y 2) .

Помогите Семену! Определите минимальное количество операций, необходимых ему для покраски всех ячеек таблицы. Обратите внимание, что одну ячейку разрешается покрасить несколько раз.

В первой строке заданы ровно два целых числа n , m ( 3 ≤ n, m ≤ 50 ).

Далее в n строках задано описание ячеек таблицы. А именно, в i -ой строке задано m целых чисел через пробел a i1, a i2, . a im . Если a ij равно нулю, то ячейка (i, j) не является хорошей, иначе — a ij равно единице. Гарантируется, что хотя бы одна ячейка является хорошей. Гарантируется, что ни одна хорошая ячейка не является углом.

Выведите единственное число — минимальное количество операций, необходимых Семену для осуществления его затей.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector