Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.
Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.
Определение. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .
Определение. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .
Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.
В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:
множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X : x ≤ M ,
ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и
ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X : m ≤ x ≤ M .
Пустое множество будем считать ограниченным по определению.
Определение. Для любого числа a R неотрицательное число
называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|
Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е.
– верхняя граница множества X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).
Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε
Свойство 3. Пусть X1 и X2 – числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество и через X1 − X2 множество . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Свойство 4. Пусть X1 и X2 – числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .
Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8556 – | 7410 –
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
Множество X вещественных чисел (X ⊂ (mathbb
$$
exists C in mathbb
ightarrow x leq C.label
$$
Всякое вещественное число C, обладающее свойством eqref
Аналогично, множество X ⊂ (mathbb
$$
exists C’inmathbb
ightarrow x geq C’.label
$$
Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию eqref
Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>(Leftrightarrowleft <exists C’in mathbb
ightarrow C’ leq x leq C
ight>).
Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ (mathbb
По условию (B=left<exists C in mathbb
ightarrow x geqslant C
ight>). Поэтому
$$
ceil B=left<forall C in mathbb
ightarrow x_C Определение 1.
Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
- $$forall x in X
ightarrow x leq Mlabel$$ - $$forallalpha alphalabel
$$
Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.
Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.
Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:
- $$forall x in X
ightarrow x geqslant m
onumber$$ - $$foralleta > m exists x_etain X: x_eta m exists x_etain X: x_eta Теорема 1
Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.
Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:
- множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
- все элементы множества X отрицательны.
Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref
Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a,<an>. Чтобы проверить выполнение условия eqref
$$x
otin X_k при k=0,1,2,…,label
$$xin X_k при k=0,1,2,…,label
$$exists m: xin X_, x
otin X_label
Из eqref
Во втором случае условию eqref
Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде
Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a в записи eqref
Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого x ∈ X и любого y ∈ Y справедливо неравенство $$x leq y,label
ightarrow x leq sup X leq inf Y leq y.label
Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу eqref
ightarrow x leq sup X, forall yin Y
ightarrow inf Y leq y.label
Из неравенства eqref
Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup X leq xi leq inf Ylabel
Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число называется точной верхней гранью (границей) , если:
для
Число называется точной нижней гранью (границей) , если:
для M: exists
(если множество неограничено сверху , то пишем если множество неограничено снизу , то пишем )
Примечание: если не является точной верхней гранью множества и , тогда
если не является точной нижней гранью множества и , тогда M : forall
Примеры:
Единственность верхних и нижних точных граней
Если множество имеет и , то он единственный .
Пусть множество имеет 2 точных верхних грани: и
Так как и , то M_<1>" title="exists
Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.
Практические задания:
Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих равенству .
. Так и есть, является верхней границей множества .
Действительно, всякие рациональные (и при этом -sqrt<2>" title="x> -sqrt<2>" />) будут элементами множества , причём . То есть какое бы рациональное число из мы не взяли, можно взять рациональное число из так, что оно будет находиться ближе к на числовой прямой.
Пусть — множество чисел, противоположных числам
Пусть — элемент из множества противоположный элементу из множества .
Распишем точную нижнюю грань для множества по определению: