Теорема о точной верхней грани числового множества

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.

Определение. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .

Определение. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .

Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X : x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X : m ≤ x ≤ M .

Пустое множество будем считать ограниченным по определению.

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. – верхняя граница множества X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε

Свойство 3. Пусть X1 и X2 – числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество и через X1 − X2 множество . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .

Свойство 4. Пусть X1 и X2 – числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8556 – | 7410 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ (mathbb)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
exists C in mathbb: forall x in X
ightarrow x leq C.label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ (mathbb) называется ограниченным снизу, если
$$
exists C’inmathbb: forall x in X
ightarrow x geq C’.label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>(Leftrightarrowleft <exists C’in mathbb exists Cinmathbb: forall xin X
ightarrow C’ leq x leq C
ight>).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ (mathbb)>.

По условию (B=left<exists C in mathbb: forall x in X
ightarrow x geqslant C
ight>). Поэтому
$$
ceil B=left<forall C in mathbb: exists x_C in X
ightarrow x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

1. $$forall x in X
   ightarrow x leq Mlabel$$
2. $$forallalpha alphalabel$$

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

1. $$forall x in X
   ightarrow x geqslant m
   onumber$$
2. $$foralleta > m exists x_etain X: x_eta m exists x_etain X: x_eta Теорема 1

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref. Пусть C=c,c₁c₂…c_n…; тогда c — неотрицательное целое число, причем C x’.label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x
otin X_k при k=0,1,2,…,label$$

$$xin X_k при k=0,1,2,…,label$$

$$exists m: xin X_, x
otin X_label$$

Из eqref следует, что (a_0

Во втором случае условию eqref удовлетворяет произвольный элемент (widetilde xin X_m), так как

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a в записи eqref для всех x ∈ X, (a_1^ast) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast); (a_2^ast) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast, a_1=a_1^ast) и т.д. Указанным способом определяется число (x^ast=-a_0^ast,a_1^ast…a_n^ast…=-a_0^ast,left\). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x * является точной верхней гранью множества.

Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого x ∈ X и любого y ∈ Y справедливо неравенство $$x leq y,label$$ то существуют sup X и inf Y, причем $$forall xin X и forall yin Y
ightarrow x leq sup X leq inf Y leq y.label$$

Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу eqref, то по теореме 1 существует sup Y. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование inf Y. По определению точных граней $$forall xin X
ightarrow x leq sup X, forall yin Y
ightarrow inf Y leq y.label$$ Из eqref следует, что для доказательства утверждения eqref достаточно показать, что $$sup X leq inf Y.label$$Из неравенства eqref следует, что каждое число y ∈ Y является верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X, то есть число sup X, есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого y ∈ Y выполняется неравенство $$sup X leq y.label$$

Из неравенства eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup X leq xi leq inf Ylabel$$ Тогда из eqref и eqref следует неравенство $$x leq xi leq y,label$$ которое справедливо для любого x ∈ X и любого y ∈ Y. Про число ξ говорят, что оно отделяет множество X от множества Y. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимости числовых множеств.

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число называется точной верхней гранью (границей) , если:

для ‘;" title="forall ‘ ‘;" /> (любое число меньшее M верхней гранью не является).

Число называется точной нижней гранью (границей) , если:

для M: exists ‘ in X:‘ M: exists ‘ in X:‘ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

(если множество неограничено сверху , то пишем если множество неограничено снизу , то пишем )

Примечание: если не является точной верхней гранью множества и , тогда ‘;" title="exists ‘ ‘;" />

если не является точной нижней гранью множества и , тогда M : forall ‘ in X : ‘ M : forall ‘ in X : ‘

Примеры:

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет и , то он единственный .

Пусть множество имеет 2 точных верхних грани: и

Так как и , то M_<1>" title="exists ‘ in X: ‘>M_<1>" />, что противоречит тому факту, что

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих равенству .

. Так и есть, является верхней границей множества .

Действительно, всякие рациональные (и при этом -sqrt<2>" title="x> -sqrt<2>" />) будут элементами множества , причём . То есть какое бы рациональное число из мы не взяли, можно взять рациональное число из так, что оно будет находиться ближе к на числовой прямой.

Пусть — множество чисел, противоположных числам

Пусть — элемент из множества противоположный элементу из множества .

Распишем точную нижнюю грань для множества по определению: