7. Количество точек максимума функции по графику производной (вар. 45)
На рисунке изображен график y = f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (‐5; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [‐3; 15].
Поведение функции зависит от знака производной. Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Если производная меняет свой знак с "+" на "–", т.е. функция меняет возрастание на убывание в некоторой точке, то такая точка и есть точка максимума функции. Её-то мы и ищем на графике. Мы видим три точки, в которых производная равна нулю и меняет свой знак, – точки экстремума.
И только в одной из них – в точке 4 производная меняет знак с "+" на "–".
Ответ: 1 Для большей уверенности полезно построить простую схему поведения производной.
И сделать вывод о поведении функции, а также о количестве точек экстремума.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 191675
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): Школьник
Дата: 2014-10-19
Спасибо большое за пояснения)
Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2015-10-23
Очень хорошее объяснение.
Комментарий добавил(а): Илайчик
Дата: 2015-12-17
Что же, надо заучивать
Комментарий добавил(а): Олег
Дата: 2015-12-28
Комментарий добавил(а): Дмитрий
Дата: 2016-06-03
Комментарий добавил(а): Миша
Дата: 2016-03-30
Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2016-04-12
Большое спасибо.Не могла понять,как эт определяют,а теперь поняла.
Комментарий добавил(а): Владимир
Дата: 2016-04-13
Спасибо огромное, очень толково и понятно объяснили.
Комментарий добавил(а): Ольга
Дата: 2016-06-02
Спасибо! Очень понятно нарисовали.
Комментарий добавил(а): Людмила
Дата: 2017-11-06
а что точка x=18 не является точкой максимума?
Комментарий добавил(а): Д
Дата: 2018-03-12
Реально помогло и очень понятно
Комментарий добавил(а): Лариса
Дата: 2018-03-13
спасибо, теперь все понятно!
Комментарий добавил(а): ильсия
Дата: 2018-01-10
все очень понятно.спасибо
Комментарий добавил(а):
Дата: 2019-04-08
Комментарий добавил(а):
Дата: 2019-10-13
Комментарий добавил(а):
Дата: 2019-11-14
- +7 (953) 35-222-89
- Санкт-Петербург, Лиговский пр.52
- Kyziaha@gmail.com
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Как же действовать в этих случаях?
Найти точку максимума / минимума
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Найдите точку максимума функции
- Приравняем ее к нулю:
- Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
- Преобразуем и возьмем производную:
- «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
- Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
- Берем производную:
- Находим, чему равняется sin(x):
- Но такое невозможно! Sin(x).
- Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.
07.06.2019
5 июня Что порешать по физике
30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−11; 0] функция имеет две точки максимума x = −10 и x = −1.
Ответ 3, т.к. х=-3 тоже подходит
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. Точкам минимума — наоборот соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. Поэтому в точке минимум, а не максимум.