Тонкий однородный диск радиусом r заряжен равномерно

2018-05-14
Непроводящий тонкий диск радиуса $R$, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью $sigma$, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $omega$. Найти:
а) индукцию магнитного поля в центре диска;
б) магнитный момент диска.

(а) Возьмем кольцевой элемент с радиусом $r$ и толщиной $dr$, затем зарядим на кольцевом элементе, $dq = sigma 2 pi rdr$

ток, благодаря этому элементу, $di = frac< ( sigma 2 pi rdr ) > <2 pi>= sigma omega r dr$

Итак, магнитная индукция в центре, благодаря этому элементу: $dB = frac < mu_<0>> <2>frac$

и, следовательно, из симметрии: $B = int dB = int_<0>^ frac < mu_<0>sigma omega r dr > = frac < mu_<0>> <2>sigma omega R$

(б) Магнитный момент рассматриваемого элемента,

$dp_ = (di) pi r^ <2>= sigma omega dr pi r^ <2>= sigma pi omega r^ <3>dr $

Следовательно, искомый магнитный момент,

$p_ = int dp_ = int_<0>^ sigma pi omega r^ <3>dr = sigma omega pi frac <4>><4>$

Пример 1.Тонкий диск радиуса а равномерно заряжен м поверхностной плотностью зарядаs. Определить напряженность электрического поля на оси симметрии диска. Диэлектрическую проницаемость среды принять равной 1.

Как видно из рис. 1.4, напряженность электрического поля, создаваемого элементарным зарядом

,

где .

Учтем, что при наложении полей всех элементарных зарядов радиальные составляющие компенсируются. Поэтому результирующее поле в точке А будет направлено вдоль оси Oz, т.е. Ez = E. Тогда

,

и .

Из полученного выражения видно, что в центре диска (z = 0) . Если а ® ¥, то поле становится однородным и его напряженность совпадает с напряженностью поля заряженной бесконечной плоскости.

Рассмотренная задача может быть решена и с использованием принципа суперпозиции для потенциалов. Так, потенциал, создаваемый элементарным зарядом dq в точке наблюдения А .

Читайте также:  Что значит некорректная дата рождения

Выполняя интегрирование по поверхности диска, получаем:

.

Учтем, что j зависит только от z, и что . Тогда получаем

.

Пример 2.Определить напряженность электрического поля на оси симметрии тонкого заряженного с поверхностной плотностью заряда s диска, если в его центре имеется круглое отверстие. Радиус диска а, радиус отверстия b

Из рис 1.5 видно, что полярный угол f принимает значения от 0 до p. Поэтому .

Пример 4. Сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью заряда s=s×cosq,

где q – азимутальный угол. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r >> R вдоль оси дипольного момента сферы, а также в плоскости, перпендикулярной оси диполя и пересекающей его центр.

Т.к. составляющие элементарного дипольного момента

,

перпендикулярные оси Oz, при наложении компенсируются, то полный дипольный момент сферы p = pz. Из рис.1.6

.

Тогда полный дипольный момент сферы

.

На большом расстоянии от системы зарядов

.

Следовательно, в направлении оси Oz

.

В плоскости z = 0 дипольный момент сферы перпендикулярен радиус-вектору . Поэтому

, и напряженность электрического поля, по-прежнему направленная вдоль оси Oz, определяется выражением .

Дата добавления: 2015-10-19 ; просмотров: 3853 . Нарушение авторских прав

Пусть нам дан не проводящий диск с центром в точке 0 и радиусом R, заряженный равномерно с поверхностной плотностью заряда s = Q/(2pR 2 ). Система, как и в двух предыдущих параграфах, имеет ось симметрии С¥, совпадающую с осью х рис.2.17. Задача о параметрах поля в пространстве вырождается в задачу на плоскости, содержащей ось симметрии. Наличие плоскости симметрии, совпадающей с плоскостью диска, и взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии, содержащих ось С¥, позволяет, рассчитав параметры поля в четвертой части плоскости, описать поле в пространстве. Как и в предыдущем параграфе будем рассчитывать параметры поля только для точек, лежащих на оси симметрии, для которых получаются компактные аналитические выражения. Обозначения приведены на рис.2.17. Представим заряженный диск как совокупность вложенных друг в друга

Читайте также:  Чем открыть формат pdo

тонких колец толщиной dy. Пусть радиус такого произвольно выделенного кольца равен у. Определим потенциал и напряженность от этого кольца в точке М, лежащей на оси симметрии на расстоянии х от центра диска (кольца). Для этого воспользуемся формулами (2.84), (2.85), выведенными в предыдущем параграфе. Заменим в этих формулах линейную плотность заряда t на поверхностную плотность s, j на dj, Еоси на оси, R на y = x×tga, Q на dQ= s×2py×dy (dy =x×da/Cos 2 a):

, (2.86)

Для получения параметров поля диска следует провести интегрирование выражений (2.86) по углу a в пределах от a = 0 до a =b, где tgb=y/x:

(2.87)

(2.88)

В центре диска х=0, r = R, b = p/2, Cosb=0 и (2.87), (2.88) примут вид:

(2.89)

Если диск является проводящим (металлическим), то из-за взаимного отталкивания заряды распределены по поверхности не равномерно. В центре диска поверхностная плотность меньше чем на краях. Распределение поверхностной плотности можно оценить по формуле [10]:

(2.90)

В центре диска (у=0) поверхностная плотность заряда s в четыре раза меньше, чем в случае равномерного распределения заряда по площади диска (S = pR 2 ). Край диска соответствует значению y = R. Знаменатель в (2.90) обращается в нуль, а напряженность на краю стремится к бесконечности. В реальных электродных системах, когда толщина диска является конечной величиной, радиус кривизны не является бесконечно малым, и напряженность остается конечной. Расчет напряженности на краю диска проводится методом конформных отображений, который рассматривается далее в этой главе. Собственная емкость проводящего диска равна:

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 4288 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector