Трехмерная система координат примеры

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у , называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х , О у , О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у , тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Читайте также:  Составить уравнение эллипса фокусы которого имеют координаты

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси О х . Любое действительное число x M равняется единственной точке М , расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если – 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М , расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у . Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х , а как проекцию точки M y на О у . Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у – y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел ( x M , y M ) , называемую ее координатами. Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара ( x M , y M ) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х , О у , О z . Тогда значения этих точек на осях О х , О у , О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х , О у , О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Читайте также:  Телевизор lg нечеткое изображение

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные ( x M , y M , z M ) , которые имеют название координаты точки M , , x M , y M , z M – это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел ( x M , y M , z M ) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Рассмотрим трехмерную декартовую систему координат, являющуюся правосторонней. Примем соглашение, в соответствии с которым будем считать положительными такие повороты, при которых (если смотреть с конца полуоси в направлении начала координат) поворот на 90 ° против часовой стрелки будет переводить одну полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:

Если ось вращения

Положительным будет направление поворота

От y к z

От z к x

От x к y

Рис. 3.6. Трехмерная система координат

Аналогично тому, как точка на плоскости описывается вектором (x,y), точка в трехмерном пространстве описывается вектором (x,y,z).

Как и в двухмерном случае, для возможности реализаций трехмерных преобразований с помощью матриц перейдем к однородным координатам:

[x*,y*,z*1] = [ ], где Н ¹ 1, Н ¹ 0.

Обобщенная матрица преобразования 4 ´ 4 для трехмерных однородных координат имеет вид

Т =

Эта матрица может быть представлена в виде четырех отдельных частей:

.

· Матрица 3 ´ 3 осуществляет линейное [1] преобразование в виде изменения масштаба, сдвига и вращения.

· Матрица 1 ´ 3 производит перенос.

· Матрица 3 ´ 1- преобразования в перспективе.

· Скалярный элемент 1 ´ 1 выполняет общее изменение масштаба.

Рассмотрим воздействие матрицы 4 ´ 4 на однородный вектор [x,y,z,1]:

1. Трехмерный перенос – является простым расширением двумерного:

T(Dx,Dy,Dz) =

2. Трехмерное изменение масштаба.

Рассмотрим частичное изменение масштаба. Оно реализуется следующим образом:

S ( Sx , Sy , Sz ) =

Общее изменение масштаба получается за счет 4-го диагонального элемента, т. е.

[x y z 1] * = [x y z S] = [x* y* z* 1] = [ ] .

Такой же результат можно получить при равных коэффициентах частичных изменений масштабов. В этом случае матрица преобразования такова:

S =

3. Трехмерный сдвиг

Недиагональные элементы матрицы 3 ´ 3 осуществляют сдвиг в трех измерениях, т. е.

[x y z 1] * =[x+yd+hz, bx+y+iz, cx+fy+z, 1] .
Читайте также:  Что значит мокрая печать

4. Трехмерное вращение

Двухмерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z . В трехмерном пространстве поворот вокруг оси Z описывается матрицей

Rz( ) =

Матрица поворота вокруг оси X имеет вид

Rx( )=

Матрица поворота вокруг оси Y имеет вид

Ry( )=

Результатом произвольной последовательности поворотов вокруг осей x, y, z является матрица

A =

Подматрицу 3 ´ 3 называют ортогональной, так как ее столбцы являются взаимно ортогональными единичными векторами.

Матрицы поворота сохраняют длину и углы, а матрицы масштабирования и сдвига нет.

[1] Линейное преобразование трансформирует исходную линейную комбинацию векторов в некоторую линейную их комбинацию.

Трехмерная прямоугольная система координат представляет собой совокупность точки, которая называется началом координат (обозначается точкой (O)), и базиса, образованного тремя взаимно перпендикулярными векторами. Эти векторы задают три координатных оси : (Ox) − ось абсцисс , (Oy) − ось ординат и (Oz) − ось аппликат . Координата любой точки в пространстве определяется тремя действительными числами: (x), (y), (z).

Расстояние между двумя точками (Aleft( <,,>
ight)) и (Bleft( <,,>
ight)) в пространстве находится по формуле
(d = left|
ight| = sqrt <<<left( <
>
ight)>^2> + <<left( <>
ight)>^2> + <<left( <>
ight)>^2>> )

Деление отрезка в отношении (lambda)
Предположим, что точка (Cleft( <,,>
ight)) делит отрезок (AB) в отношении (lambda). Координаты точки (C) определяются выражениями
(
= largefrac <<+ lambda >><<1 + lambda >>
ormalsize,;; = largefrac <<+ lambda >><<1 + lambda >>
ormalsize,;; = largefrac <<+ lambda >><<1 + lambda >>
ormalsize), где (lambda = largefrac<><>
ormalsize,;;lambda
e – 1,)
где (
), (), () − координаты точки (A), (), (), () − координаты точки (B).

Координаты середины отрезка определяются из предыдущих формул при (lambda = 1) и равны
( = largefrac <<+ >><2>
ormalsize,;; = largefrac <<+ >><2>
ormalsize,;; = largefrac <<+ >><2>
ormalsize), где (lambda = largefrac<><>
ormalsize = 1.)

Знак в правой части данных формул выбирается таким, чтобы объем был положительным.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector