Трехзначные числа делящиеся на 11

Изучаем математику вместе!

Всего существует три важных признака делимости на 11.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.

Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.

б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.

Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.

б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.

Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Признак деления на 11 – число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на чётных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах.

Читайте также:  Сохраненный файл поврежден assassins creed 3

Пусть сумма цифр числа равна 11, тогда средняя его цифра равна 0, а две крайние дают в сумме 11. Все такие числа – 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902 (8 чисел).

Пусть сумма цифр числа равна 22, тогда оно не делится на 11. Сумма цифр на нечётных местах меньше 22, а сумма цифр на чётных местах меньше 11, значит, ни 22, ни 0 разность цифр на чётных и нечётных местах равна быть не могла, значит, она равна 11. Пусть сумма крайних цифр – a, а средняя цифра – b, тогда (a – b = 11) и (a + b = 22), но b – целое число, значит, сумма цифр числа не может равняться 22.

Так же сумма цифр трёхзначного числа не может равняться 0 и быть больше 33.

Ответ: 8 чисел (209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902).

Найдите трёхзначное число, составленное из различных цифр, которое делится на 11, а сумма его крайних цифр кратна 5. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть x – цифра сотен искомого числа, y – цифра десятков, z – цифра единиц. Тогда число x+z кратно 5, т.е. x+z=5, либо x+z=10, либо x+z=15. Если искомое число делится на 11, то y=x+z, если x+z=5, или y=x+z-11, если x+z=15. Значит y=5, z=5-x для x от 1 до 4 (x,y,z – различные) или y=4, z=15-x для x от 6 до 9. Поочередно подставляя x=1,2,3,4,6,7,8,9 , получаем числа 154,253,352,451,649,748,847,946
154

Что такое подготовка к ЕГЭ/ОГЭ в онлайн-школе Тетрика?

👩 Опытные преподаватели
🖥 Современная цифровая платформа
📈 Отслеживание прогресса
И, как следствие, гарантия результата 85+ баллов!
→ Запишись на бесплатное вводное занятие ← по ЛЮБОМУ предмету и оцени свой уровень уже сейчас!

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector