Упростить выражение с факториалом

Пользоваться нашим калькулятором факториалов предельно просто. Нужно нажать на клавиатуре !

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториалы

Что такое факториалы и как их решать

Факториал числа n, который в математике обозначают буквой латиницы n, после которой следует восклицательный знак !. Произносится голосом это выражение как “н факториал”. Факториал – это результат последовательного умножения между собой последовательности натуральных чисел с 1 и до искомого числа n. Например, 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720Факториал числа n обозначается латинской буквой n! и произносится как эн факториал. Представляет собой последовательное перемножение (произведение) всех натуральных чисел начиная с 1 до числа n. Например: 6! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720

Факториал имеет математический смысл, только тогда, когда если это число целое и положительное (натуральное). Этот смысл следует из самого определения факториала, т.к. все натуральные числа неотрицательные и целые. Значения факториалов, а именно результат умножения последовательности от единицы до числа n можно посмотреть в таблице факториалов. Такая таблица возможна, по причине того, что значение факториала любого целого числа известно заранее и является, так сказать, табличным значением.

По определению 0! = 1. То есть если имеется ноль факториал, то мы ничего не перемножаем и результат будет первым натуральным существующим числом, то есть один.

Рост функции факториала можно отобразить на графике. Это будет дуга, похожая на функцию икса в квадрате, которая будет стремиться быстро вверх.

Читайте также:  Смотри как красиво запятая

Факториал – является быстрорастущей функцией. Она растет по графику быстрее, чем функция многочлена любой степени и даже экспоненциальная функция. Факториал растет быстрее многочлена любой степени и экспоненциальной функции (но при этом медленнее двойной экспоненциальной функции). Именно поэтому, чтобы посчитать факториал вручную могут быть сложности, так как результатом может получиться очень большое число. Чтобы не считать факториал вручную, можно воспользоваться калькулятором подсчёта факториалов, с помощью которого вы можете быстро получить ответ. Факториал применяется в функциональном анализе, теории чисел и комбинаторике, в которой имеет большой математический смысл, связанный с числом всевозможных неупорядоченных комбинаций объектов (чисел).

Чтобы быстро рассчитать число комбинаций n чисел, нужно всего лишь посчитать n!. После подсчёта значения факториала калькулятором, искомое значение можно использовать в решении более сложных задач. Вы можете посмотреть необходимый факториал в таблице: "Таблица факториалов"

Бесплатный онлайн калькулятор факториалов

Наш бесплатный решатель позволяет расчитать факториалы онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) qquad (1) $$

Читайте также:  Шазам пишет что нет соединения

Например, $5! = 4! cdot 5 $, или $5! = 3! cdot 4 cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! cdot 3 cdot 4 cdot 5 $.

Основная суть идеи:

  1. Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
  2. Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
  3. Вычисляем предел подходящим способом
Пример 1
Вычислить предел с факториалами $lim_limits frac<(n+1)!>$
Решение

Подставляя $x=infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <(n+1)!>= 0 $$

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! cdot (2n+2)cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Пример 2
Решить предел с факториалом $ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>$
Решение
Ответ
$$ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>= 0 $$

Понятно, что предел имеет неопределенность $frac<infty><infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

В вольфраме вышло так : $%frac<1><2 (n+1) (2 n+1)>$%
Можете указать на мою ошибку.

задан 16 Авг ’15 14:27

Alex23
53 ● 2 ● 9
85&#037 принятых

Спасибо. В самом деле.

А почему у меня так не вышло без раскрытия скобок? Я положил $%n=n-1$% и подставил его в $%(2(n+1))!$%, что бы получить $%n-1$%-ый член факториала, ну и затем по тому свойству.

Точнее говоря я правильно сделал свое преобразование?

@Alex23: преобразование Вы сделали неправильно, потому что оно должно применяться к факториалу числа 2(n+1). Он равен произведению этого числа на факториал числа, которое меньше данного на единицу. То есть второй сомножитель равен факториалу 2(n+1)-1=2n+1, а не факториалу 2n.

Здравствуйте

Математика – это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Пример 3
Найти предел $lim_limits frac<3(n+1)!> <2(n+1)!-n!>$
Решение
Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector