Уравнение касательной к эллипсу в точке

Следовательно твоя касательная должна проходить и через точку Р и быть касательной к эллипсу. С другой стороны точка касания принадлежит самому эллипсу. Решаешь полученную систему и получаешь два значения точек касания. Затем зная координаты точки касания и координаты точки Р, находишь уравнение касательных.

Система содержащая уравнение эллипса и общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку имеет только одно решение. Следовательно решив систему относительно углового ткоэффициента и свободного члена уравнения прямой находишь два уравнения касательных.

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Culthdmi 02.11.2018

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Выразим уравнение эллипса x²/20+y²/5=1 относительно у.

у =+-(1/2)*√(20 – х²). То есть получаем 2 уравнения – они выражают верхнюю и нижнюю половины графика относительно оси Ох.

Производная функции равна:

верх y’ = -х/(2√(20 – х²)),

Получаем 2 уравнения касательных (точка касания (хо; уо)):

у = (1/2)*√(20 – хо²) – х/(2√(20 – х²))*(х – хо). (1)

у = -(1/2)*√(20 – хо²) + х/(2√(20 – х²))*(х – хо). (2)

Известно, что уравнение касательной к эллипсу имеет вид:

(ххо/а²) + (ууо/в²) = 1. (3)

Так как касательная проходит через точку А, подставим её координаты в уравнение (3).

Получаем хо + 2уо = 6 или

Подставив хо их уравнения (4) в уравнения (1) и (2), получим уравнения касательных:

Убедимся, что каждая из кривых , являющихся эллипсом, гиперболой или параболой, представляет собой объединение графиков двух функций. Рассмотрим, например, каноническое уравнение эллипса Из этого уравнения следует, что часть эллипса, точки которой имеют неотрицательные ординаты y, есть график функции

а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть график функции

Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы найдем, что гипербола представляет собой объединение графиков функций

Читайте также:  Что такое нумпад на клавиатуре

а из канонического уравнения параболы (3.6) вытекает, что эта кривая есть объединение график функций

  • 1. Найдем уравнение касательной к эллипсу в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть – текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.2). Тогда уравнения касательной имеет вид
  • 2.

Учитывая, что точка лежит на эллипсе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.1) и (3.2)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к эллипсу получим:

уравнение касательный эллипс

3. Найдем уравнение касательной к гиперболе в его точке , считая при этом (пусть ради определённости ). Пусть – текущие координаты точки касательной. Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке производная функции (3.5). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на гиперболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.4) и (3.5)), т.е. Тогда

Данное уравнения умножим на и получим,

После преобразований уравнения касательной к гиперболе получим:

4. Найдем уравнение касательной к параболе в его точке , считая при этом , а . Так как ее угловой коэффициент , где , а в точке , производная функции (3.6). Тогда уравнения касательной имеет вид

Учитывая, что точка лежит на параболе (т. е. её координаты удовлетворяет уравнениям (3.6) и (3.7)), т.е. . Т.к.

Раскроем скобки и получим

После преобразований уравнение касательной к параболе получим:

Составить уравнения касательной к эллипсу проведенной из точки .

Уравнение касательной к эллипсу имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данному эллипсу будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Читайте также:  Схема монитора lg flatron w1942s

Но точки прикосновения ( лежит на данном эллипсе, поэтому

Решим систему из (2) и (3) уравнения:

Решая систему (2) и (3), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (1) вместо найденные значения:

Составить уравнения касательной к гиперболе проведенной из точки .

Уравнение касательной к гиперболе имеет вид , где ( точка касания. Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Так как касательная проходит через точку , то координаты точки A должны удовлетворять этому уравнению подставляя в последнее уравнение вместо координаты точки A, получим

Но точки прикосновения ( лежит на данной гиперболе, поэтому

Решим систему из (5) и (6) уравнения:

Решая систему (5) и (6), нашли 2 решения:

Искомых касательных 2, их уравнения получим, подставляя в уравнение (4) вместо найденные значения:

Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой 10.

Из условия известно, что у точки A координаты равны .

1) Найдем , подставив значение в уравнения . И получим

2)Уравнение касательной к данной гиперболе будет иметь вид

Подставим в данное уравнение координаты точки , и получим два уравнения касательной.

Составить уравнение прямой которая, касается параболы и перпендикулярна к прямой .

Для уравнения найдем коэффициенты :

Обратим внимания на то, что нельзя пользоваться формулой , т.к. оно было получено для параболы в виде , а мы имеем параболу .

Составим систему уравнений:

Для нахождения касательной найдем такое, что , т.е. есть только одна точка касания:

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector