Уравнение окружности в параметрическом виде

Кардиоида

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли – линия, представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.

В полярных координатах

Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие

Вершины кривой находятся в точках

Площадь каждой петли S=a 2 .

В полярных координатах

Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).

Укажем, что площадь кардиоиды , а длина L=8a.

6. Параметрическое задание линий

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.

Пусть M(x,y) – текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox . Из треугольника ОМА:

– параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

.

|	следующая лекция ==>
Четырехлепестковые розы	|	Астроида

Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 2896 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Содержание

Параметрическое представление функции [ править | править код ]

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

;> y = ψ ( t ) <displaystyle y=psi (t)>

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как [1] :

y = ψ ( θ ( x ) ) = f ( x ) <displaystyle y=psi ( heta (x))=f(x)>

и производная функции может быть вычислена как

y ′ ( x ) = d y d x = y t ′ x t ′ = ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) <displaystyle y'(x)=<frac >=<frac >>=<frac <psi ‘(t)><phi ‘(t)>>>

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно.

Параметрическое представление уравнения [ править | править код ]

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Параметрическое уравнение [ править | править код ]

Близкое понятие — параметрическое уравнение [2] множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

x = x ( t ) ; y = y ( t ) <displaystyle x=x(t);y=y(t)> (кривая на плоскости), x = x ( t ) ; y = y ( t ) ; z = z ( t ) <displaystyle x=x(t);y=y(t);z=z(t)> (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

Примеры [ править | править код ]

Уравнение окружности имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2 . <displaystyle x^<2>+y^<2>=r^<2>.>

Параметрическое уравнение окружности:

;> y = r sin ⁡ t ; 0 ≤ t 2 π <displaystyle y=r

0leq t

Гипербола описывается следующим уравнением:

x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1. <displaystyle <frac <2>><2>>>-<frac <2>><2>>>=1.>

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

t> ; y = b sh ⁡ t ; − ∞ t + ∞ <displaystyle ;

-infty

Параметрический способ задания функций

Пусть даны два уравнения

$x=phi (t)$ и $y=psi (t)$

В которых $t$ принимает значения с отрезка [n1; n2]. Каждому значению t соответствуют значения x и y — координаты точки на плоскости Оxy.

Когда $t$ изменяет свое значение на промежутке от $n1$ до $n2$, точка описывает некоторую кривую. Уравнения $x=phi (t)$ и $y=psi (t)$ получили название параметрических для кривой, а $t$ — параметра.

Предположим, что функция $x=phi (t)$ имеет обратную функцию $t= (x)$. Тогда справедливо равенство:

Параметрический способ задания функций широко применяется в механике. Так, если в плоскости некоторая материальная точка находится в движении (время $t$), и законы движения проекций этой точки на оси координат известны:

Уравнения являются параметрическими уравнениями траекторий движущейся точки. Исключая временной параметр, получим уравнение траектории в форме $y = f(x)$.

Определить траекторию и место падения груза, сброшенного с самолета, движущегося горизонтально со скорость $v_0$ на высоте $y_0$.

Допустим, что груз сбрасывается с момент пересечения самолетом оси Oy. Тогда очевидно, что горизонтальное перемещение груза равномерно и имеет постоянную скорость:

А вертикальное перемещение:

Следовательно, расстояние от груза до земли в произвольный момент падения:

Уравнения горизонтального и вертикального перемещения тела являются параметрическими. Для того, чтобы исключить временной параметр $t$, найдем его значение из первого уравнения.

Полученное выражение подставим во второе параметрическое уравнение чтобы найти уравнение траектории:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнения некоторых кривых в параметрической форме:

1. Окружность

Параметрические кривые окружности:

Рисунок 1. Окружность и ее параметрические кривые

Уравнение гиперболы имеет вид:

Параметрические кривые гиперболы:

Рисунок 2. Гипербола и ее параметрические кривые

Записать уравнение окружности в параметрическом виде.

Представим уравнение окружности в виде: [x^ <2>+y^ <2>=r^ <2>] [x^ <2>+y^ <2>=6^ <2>]

Значит, радиус $r$ равен 6.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Записать уравнение гиперболы в параметрическом виде.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь