Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно прямой

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной плоскости (1)(Рис.1).

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M(x, y, z) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяла уравнению плоскости (1):

(2)

Решим (2) относительно D:

D=−(Ax+By+Cz) (3)

Подставляя значение D из (3) в (1), получим:

Ax+By+Cz−(Ax+By+Cz)=0 (4)

Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:

A(xx)+B(yy)+C(zz)=0 (5)

Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M(x, y, z) и параллельной плоскости (1).

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −6, 2) и параллельной плоскости :

Читайте также:  Чем отличается консольное приложение от приложения windows
(6)

Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):

(7)

Подставляя координаты точки M и координаты нормального вектора в (3), получим:

(8)

Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:

Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:

В этой статье детально разобран процесс нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной плоскости. После изложения необходимых теоретических основ приведены подробные решения характерных задач, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10 – 1 1 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана плоскость и точка , не лежащая в плоскости . Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости , имеет вид . Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости , если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и , нормальным вектором плоскости является любой нормальный вектор заданной плоскости . Таким образом, задача составления уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М1 параллельно заданной плоскости , сводится к определению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь координаты нормального вектора плоскости проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости вида . В этом случае коэффициенты A , B , C перед переменными x , y , z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Читайте также:  Фирма gud запчасти отзывы

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости :

  • получаем общее уравнение плоскости в виде (если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор ;
  • принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;
  • записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде – это и есть искомое уравнение плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М1 лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости , которая совпадает с плоскостью .

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Разберем решения нескольких примеров, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости.

Начнем с самого простого случая, когда координаты нормального вектора плоскости очень легко находятся.

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и направляющих векторов прямых.

Содержание

[править] Обозначения

[math]ar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]ar r_0=(x_0,y_0,z_0)[/math] — радиус-вектор точки;

[math]ar s_1=(l_1,m_1,n_1)[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]ar s_2=(l_2,m_2,n_2)[/math] — направляющий вектор второй прямой.

[править] Формулы:

Векторная форма: [math]left(ar r-ar r_0
ight)ar s_1ar s_2=0[/math] .

[math]egin x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \ l_1 & m_1 & n_1 \ l_2 & m_2 & n_2 end Leftrightarrow[/math] [math]Leftrightarrow egin m_1 & n_1 \ m_2 & n_2 end(x-x_0) -egin l_1 & n_1 \ l_2 & n_2 end(y-y_0) +egin l_1 & m_1 \ l_2 & m_2 end(z-z_0)=0 [/math]

  • Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой.
Читайте также:  Старшие и младшие разряды чисел

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector