Уравнение прямой отсекающей на осях координат отрезки

Написать уравнение прямой, отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки a = 3 и b = 4.

В уравнение прямой в отрезках на осях

подставим a = 3 и b = 4. Получим искомое уравнение в виде

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « – » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y – 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , – 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = – C ⇔ ⇔ A – C x + B – C y = 1 ⇔ x – C A + y – C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = – C A , b = – C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x – 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x – 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x – 7 y = – 1 2 .

Делим обе части равенства на – 1 2 : x – 7 y = – 1 2 ⇔ 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 ⇔ x – 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x – 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b – 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y – 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y – 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y – 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 – 12 · y – 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x – 1 12 · y – 1 = 0

Ответ: 3 2 · x – 1 12 · y – 1 = 0

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

где из общего уравнения прямой, из общего уравнения прямой.

Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат (рисунок внизу).

Как получить уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой? Пусть дано общее уравнение прямой на плоскости

при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Перенесём свободный член C в правую часть уравнения и получим:

Поделим обе части уравнения на -C и имеем:

то есть уравнение прямой в отрезках.

Пример 1. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.

Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:

Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны и и соединим их концы.

Пример 2. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.

Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:

Самые наблюдательные, возможно, уже начали устанавливать закономерность, по которой отрезки имеют положительный либо отрицательный знак в зависимости от знаков коэффициентов.

Пример 3. Прямая на плоскости задана уравнением в отрезках . Установить, принадлежит ли этой прямой точка .