Уравнения с факториалами примеры

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Факториалом n! называется произведение n последовательных натуральных чисел, начиная с единицы:

[n! = 1cdot2cdot3(n-1) cdot n]

Факториал нуля равен единице:

Так же используются факториалы по четным и нечетным числам. Обозначаются они следующим образом:

[ (2n)!! = 2cdot4cdot6ldots(2n – 2)( 2n) ] (1)

[ (2n + 1)!!] – факториал по всем нечетным числам до [(2n +1) ]

Факториал – частое явление в комбинаторике, поэтому знание их способов решения очень важно.

Допустим, дано уравнение с факториалом следующего вида:

Для решения данного дробного уравнения с факториалом необходимо вынести за пределы скобок 6!:

Решим дробное уравнение с двойным факториалом следующего вида:

Из вышеописанного равенства (1) следует:

Как видите, уравнения с факториалами довольно легко решаются с помощью несложных преобразований и арифметических операций, главное знать алгоритм их решения и формулы преобразования.

Где можно решить уравнение с факториалом онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) qquad (1) $$

Например, $5! = 4! cdot 5 $, или $5! = 3! cdot 4 cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! cdot 3 cdot 4 cdot 5 $.

Основная суть идеи:

1. Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
2. Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
3. Вычисляем предел подходящим способом

Пример 1

Вычислить предел с факториалами $lim_limits frac<(n+1)!>$

Решение

Подставляя $x=infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <(n+1)!>= 0 $$

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! cdot (2n+2)cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Пример 2

Решить предел с факториалом $ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>$

Решение

Ответ

$$ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>= 0 $$

Понятно, что предел имеет неопределенность $frac<infty><infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

В этой статье я расскажу о факториале, его свойствах и о том, как вычислить его значение с помощью Excel. Мы проверим, как точно вычисляет значение факториала формула Стирлинга и разберем решение типовых задач с факториалами, а на закуску – несколько видеороликов (и конечно расчетный файл эксель). Удачи!

Что такое факториал?

Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. Факториал определен только для целых неотрицательных чисел.

$$n!=1cdot 2cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$

По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$. Далее:

$$ 2!=1 cdot 2 = 2,\ 3!=1 cdot 2 cdot 3= 6,\ 4!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4= 24,\ 5!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5= 120,\ . $$

Факториал растет невероятно быстро (недаром он обозначается восклицательным знаком!), существенно быстрее степенной $x^n$ или даже экспоненциальной функции $e^n$ (но медленее чем $e^$)

Факториал широко применяется в комбинаторике – он равен числу всех перестановок $n$-элементного множества, а также входит в формулы для числа сочетаний и размещений. Факториал встречается в математическом анализе (чаще при разложениях функции в степенные ряды), а также в функциональном анализе и теории чисел.

Формулы и свойства факториала

Рекуррентная формула для факториала:

Факториал связан с гамма-функцией по формуле: $n!= Gamma(n+1)$. Фактически, гамма-функция – обобщение понятия факториала на все положительные вещственные функции.

Для любого натурального $n$ выполняется:

$$ (n!)^2 ge n^n ge n! ge n. $$

Любопытная формула связывает факториал и производную степенной функции:

Формула Стирлинга

Для приближенного вычисления факториала применяют асимптотическую формулу Стирлинга:

Обычно для расчетов берут только главный член:

$$ n! approx sqrt <2pi n>left( frac
ight )^n. $$

Ниже вы увидите пример расчета факториала по обычной формуле и с помощью формулы Стирлинга, которая, как видно, дает вполне хорошее приближение (начиная с $n=9$ относительная погрешность уже меньше 1%).

Расчет факториала в Эксель

Для нахождения факториала в Excel нужно использовать специальную функцию =ФАКТР($n$) , где $n$ – число, факториал которого нужно найти.

Пример расчета и ввода формулы ниже на скриншоте, также вы можете скачать расчетный файл

Примеры задач с факториалом

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. На полке стоят 8 дисков. Сколькими способами их можно расставить между собой?

Решение. Требуется найти число всех перестановок 8 различных объектов, что вычисляется как раз как факториал:

$$N=8!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8=40320.$$

Пример 3. Упростить выражение

Пример 4. Упростить дробь, содержащую факториал:

Видео о факториале

Небольшое учебное видео про факториал – определение, свойства, как быстро растет, как вычислить в Excel по встроенной формуле и по приближенной формуле Стирлинга.

Расчетный файл из видео можно скачать

Напоследок – насколько быстро растет факториал!

Пример 3

Найти предел $lim_limits frac<3(n+1)!> <2(n+1)!-n!>$

Решение